Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

Exercício nº 22 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Identifique que tipo de equação é essa e resolva

x   d y - y + x y 3 1 + ln x d x = 0

Passo 1

Essa equação quer enganar a gente... mas somos mais espertos do que ela. Ela quer que a gente pense que ela é exata. Porém, se aplicarmos o critério de Euler vamos descobrir rapidinho que de exata ela não tem nada.

P y = - 3 x y 2 + 1 1 = Q x

Além do mais, ela não admite fator integrante

Q x - P y = 2 + 3 x y 2

Q x - P y P = 2 + 3 x y 2 y + x y 3 1 + ln x que depende de x e y e Q x - P y Q = 2 + 3 x y 2 x que também depende de x e y . Então ela tentou passar a perna na gente, mas já saímos disso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos ver de quem é essa equação! Dividindo a equação inteira por d x temos

x d y d x - y + x y 3 1 + ln x = 0

x d y d x - y - x y 3 1 + ln x = 0

Já tá melhorando a cara, não é não?

x y ' - y = x 1 + ln x y 3

y ' - 1 x y = 1 + ln x y 3

Poh agora morreu! De quem é essa equação? Bernoulli é claro. Só partir pro abraço.

Passo 3

Dividindo toda a equação por y 3

y ' y 3 - 1 x y y 3 = 1 + ln x y 3 y 3

y - 3 y ' - 1 x y y - 3 = 1 + ln x

y - 3 y ' - 1 x y - 2 = 1 + ln x

Passo 4

Fazendo a substituição t = y - 2 que implica em t ' = - 2 y - 3 y ' que por sua vez equivale a - t ' 2 = y - 3 y '

- t ' 2 - 1 x t = 1 + ln x

t ' + 2 x t = - 2 1 + ln x

Agora ela virou linear. E conhecemos a fórmula para resolver uma linear.

Calculando I x

2 x d x = 2 ln x

Então I x = e ln x 2 = x 2 = x 2

Calculando o resto:

I x B x d x + c = x 2 ( - 2 1 + ln x ) d x + c =

- 2 x 2 1 + ln x d x + c = - 2 9 x 3 3 ln x + 2

A solução da linear é dada por:

t = 1 I x I x B x d x + c = 1 x 2 - 2 9 x 3 3 ln x + 2 + c

Passo 5

Voltando para a variável y

y - 2 = 1 x 2 - 2 9 x 3 3 ln x + 2 + c

1 y 2 = 1 x 2 - 2 9 x 3 3 ln x + 2 + c

1 1 x 2 - 2 9 x 3 3 ln x + 2 + c = y 2

y 2 = 1 - 2 9 x 3 ln x + 2 + c x 2

y 2 = 9 x 2 - 2 x 3 3 ln x + 2 + c

Resposta

y 2 = 9 x 2 - 2 x 3 3 ln x + 2 + c

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