Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Considere a equação de Bernoulli para n = 3 :

d y d x + y x = y 3 x 2

( a ) Divida a equação por y 3 e substitua y - 2 = z , obtendo uma equação linear em z ; (Dica: verifique se y ≡ 0 é uma solução.)

( b ) Resolva a equação linear para z e obtenha a solução da equação original em y .

Passo 1

a Divida a equação por y 3 e substitua y - 2 = z , obtendo uma equação linear em z ; ( Dica: verifique se y ≡ 0 é uma solução. )

Primeiro, vamos verificar se y ≡ 0 é uma solução:

y = 0

y ' = 0

d y d x + y x = y 3 x 2

0 + 0 = 0

Beleza, é uma solução!

Passo 2

Agora, façamos o que ele pede né:

y - 3 d y d x + y - 2 x = 1 x 2

Para substituir aqui, vamos ter que arranjar um jeito de substituir d y d x em função de z e x :

y - 2 = z

- 2 y - 3 d y d x = d z d x

y - 3 d y d x = - 1 2 d z d x

Substituindo na EDO:

- 1 2 d z d x + z x = 1 x 2

Agora vamos tentar simplificar essa EDO:

d z d x - 2 z x = - 2 x 2

z ' - 2 x z = - 2 x 2

Prontinho! Lembre-se de que ninguém pediu para resolver a EDO.

Passo 3

( b ) Resolva a equação linear para z e obtenha a solução da equação original em y .

Bom, agora que temos uma equação linear, vamos resolver do jeito que já vimos! A EDO é essa:

z ' - 2 x z = - 2 x 2

Então a solução será:

z x = 1 I x ∫ I x B x + C

Onde:

I x = e ∫ A x d x A x = - 2 x B x = - 2 x 2

Calculando:

∫ A x d x = ∫ - 2 x d x = - 2 ln ⁡ x

I x = e - 2 ln ⁡ x = x - 2

Parte final:

∫ x - 2 - 2 x - 2 d x = ∫ - 2 x - 4 d x = 2 3 x - 3

Maneiro, então:

z x = 1 x - 2 2 3 x - 3 + C = 2 3 x - 1 + C x 2

Passo 4

Mas o que nos interessa é y , então:

y - 2 = z

y 2 = 1 z

y 2 = 1 2 3 x - 1 + C x 2 → y = 1 2 3 x - 1 + C x 2

Resposta

a   z ' - 2 x z = - 2 x 2

b   y = 1 2 3 x - 1 + C x 2

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