Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Encontre a solução geral da equação abaixo:

y ' = y x y 3 - 1

Passo 1

Vamos começar reorganizando a equação do problema. Para isso, distribuímos

y ' = x y 4 - y

y ' + y = x y 4 .

Olha só, temos uma equação na forma

y ' + P x y = Q x y α ,

com α ≠ 0 e α ≠ 1 . Ou seja, temos uma equação na forma da equação de Bernoulli.

Passo 2

Então já identificamos que se trata de uma equação de Bernoulli. Vamos agora resolvê-la. Para isso, começamos dividindo tudo por y α = y 4 :

y ' + y = x y 4

y - 4 y ' + y - 3 = x

Passo 3

Feito isso, vamos fazer a substituição

u = y 1 - α = y - 3

Em que esse u é justamente uma variável que criamos para ajudar a solucionar o problema. Beleza, para substituir esse u , vamos derivá-lo:

u ' = - 3 y - 4 y '

Assim, na nossa equação, vamos ter

y - 4 y ' + y - 3 = x

- 1 3 u ' + u = x

u ' - 3 u = - 3 x

Que é uma equação na forma

u ' + A x u = B x ,

ou seja, uma equação linear. 😊

Passo 4

Vamos então resolver essa equação linear. De forma geral, essa equação vai ter solução na forma

u x = 1 I x ∫ B x I x d x + C

Em que I x = e ∫ A x d x é o fator integrante. Show, então, para o nosso problema, teremos

I x = e ∫ - 3 d x = e - 3 x ,

∫ B x I x d x = - ∫ e - 3 x ⋅ 3 x d x .

Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, seguindo a regra do LIATE, vamos ter:

u = - 3 x v = - 1 3 e - 3 x d u = - 3 d x d v = e - 3 x d x

Assim:

∫ u d v = u v - ∫ v d u = x e - 3 x - ∫ e - 3 x d x = x e - 3 x + 1 3 e - 3 x

Ou seja, a nossa solução vai ser

u x = 1 e - 3 x x e - 3 x + 1 3 e - 3 x + C = x + 1 3 + C e 3 x

Passo 5

Show, encontramos u , mas queremos y , né? Então vamos voltar para essa variável:

u = y - 3

y - 3 = x + 1 3 + C e 3 x

E a solução fica assim, na forma implícita mesmo.

Resposta

y - 3 = x + 1 3 + C e 3 x

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