Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Nos exercícios 19 a 22 identifique as equações do tipo Bernoulli e resolva-as. [lembrando, tipo Bernoulli: y ' + p x y = q x y n , n constante real]

19 .   y ' - 2 x y = 4 x y 1 2

Passo 1

Para descobrirmos se estamos tratando de uma equação de Bernoulli temos que antes manipular essa equação. No nosso caso, a equação já está do jeitinho que tem que estar :D

y ' - 2 x y = 4 x y 1 2  

Temos com certeza uma equação de Bernoulli. Vamos aplicar o método que já aprendemos.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável u = y 1 - 1 2 = y 1 2

d u d x = 1 2 y - 1 2 d y d x → d y d x = 2 y 1 2 d u d x

Vamos reescrever nossa EDO:

y ' - 2 x y = 4 x y 1 2 → y ' y 1 2 - 2 x y 1 2 = 4 x

Substituindo na EDO:

2 d u d x - 2 x u = 4 x

u ' - x u = 2 x

Agora basta resolvermos essa EDO linear de primeira ordem.

A x = - x

B x = 2 x

Passo 3

Calculando I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ - x d x = - x 2 2

I x = e - x 2 2

Passo 4

Calculando ∫ I x B x d x

∫ e - x 2 2 2 x d x

Vamos usar uma substituição simples para resolver essa integral. Chamando u = - x 2 2 → d u = - x d x

∫ e - x 2 2 2 x d x → - 2 ∫ e u d u = - 2 e u

Lembrando que u = - x 2 2 :

∫ I x B x d x = - 2 e - x 2 2

Passo 5

Vamos lembrar do formato da solução de uma EDO linear de primeira ordem.

u x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + c

A nossa solução vai ficar.

u x = 1 e - x 2 2 - 2 e - x 2 2 + C

u = - 2 + C e x 2 2

Agora basta voltarmos para a variável y :

u = y 1 2 → u 2 = y

y = - 2 + C e x 2 2 2

Resposta

19 .     y x = - 2 + C e x 2 2 2

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