Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Resolve as seguintes equações diferenciais. No caso da letra a), resolve o problema de valor inicial associado.

  1. d x d y = 4 1 + x 2 y 0 = 1
  2. d y d x - 2 x y = 1 x 2 y 2
  3. 1 + 2 x y d x + x 2 - 1 d y = 0
  4. y 2 + x y d x - x 2 d y = 0

Passo 1

A EDO da letra b) é uma EDO de Bernoulli y ' + p x y = q x y n . Primeiramente, vamos reorganizar ela. Dividindo pelo termo y 2 , temos:

1 y 2 ⋅ d y d x - 2 x ⋅ 1 y = 1 x 2

Agora, vamos fazer uma substituição de variáveis. Vamos chamar w = y 1 - n = y 1 - 2 = y - 1 . Portanto, d w d x = - y - 2 d y d x

- d w d y - 2 x w = 1 x 2

Ou,

d w d y + 2 x w = - 1 x 2

Passo 2

Continuando a resolução, recaímos sobre uma EDO linear w ' + p x w = q x . Precisamos então determinar o fator integrante para a mesma. Ele é dado por:

μ x = e ∫ 2 x d x = e 2 ln ⁡ x = e ln ⁡ x 2 = x 2

Portanto, a nossa EDO se torna:

d d x x 2 w = x 2 ⋅ - 1 x 2 = - 1

d d x x 2 w = - 1

Integrando ambos os membros, temos:

x 2 w = - x + C

w = - x + C x 2

Agora, basta voltarmos para a variável inicial y . Logo,

y - 1 = - x + C x 2

y = x 2 - x + C

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

y = x 2 - x + C

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