Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:

x 2 y ' - 2 x y = 3 y 4

y 1 = - 1

Passo 1

Olha aqui a situação: temos um 3 y 4 solto ali, então essa é uma equação não é linear...

A nossa salvação nesse caso é lembrar da equação de Bernoulli que é sempre dessa forma aqui:

y ' + P x y = Q x y α

Para comparar as equações e ver se é mesmo uma equação de Bernoulli, precisamos dividir tudo por x 2 , para deixar y ' sozinho. Então, vamos fazer isso:

x 2 y ' - 2 x y = 3 y 4

y ' - 2 x x 2 y = 3 x 2 y 4

y ' - 2 x y = 3 x 2 y 4

Opa! Olha só, temos uma equação na forma da equação de Bernoulli com:

P x = - 2 x Q x = 3 x 2 α = 4

Passo 2

Agora que sabemos que é uma equação de Bernoulli, vamos começar a resolvê-la. Para isso, dividimos toda a equação por y α = y 4 :

y ' - 2 x y = 3 x 2 y 4

y ' y 4 - 2 x ⋅ y 4 y = 3 x 2 ⋅ y 4 ⋅ y 4

y - 4 y ' - 2 x y 3 = 3 x 2

y - 4 y ' - 2 y - 3 x = 3 x 2

Passo 3

Feito isso, fazemos uma substituição esperta u = y 1 - α = y - 3 . Assim vamos ter:

u ' = y - 3 ' = - 3 y - 4 y '

Vamos substituir esses valores no nosso problema. Para a derivada, vamos ter:

y - 4 y ' → - u ' 3

Para a outra expressão: - 2 y - 3 x → - 2 x u

Portanto, vamos ter essa EDO associada: y - 4 y ' - 2 y - 3 x = 3 x 2

- u ' 3 - 2 x u = 3 x 2

u ' + 6 x u = - 9 x 2

Essa é justamente uma EDO linear na forma: u ' + A x u = B x

Com:

A x = 6 x B x = - 9 x 2

Que sempre vai ter solução:

u x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Sendo I x o fator integrante dado por: I x = e ∫ A x d x

Dessa maneira, vamos ter: I x = e ∫ 6 x d x = e 6 ln ⁡ x = e ln ⁡ x 6 = x 6

Quanto a integral, teremos:

∫ I x B x d x = ∫ x 6 ⋅ - 9 x 2 d x = - 9 ∫ x 4 d x = - 9 x 5 5

Sempre sem a constante, porque ela já aparece na solução geral. Assim, teremos: u x = 1 I x ∫ I x B x d x + C = 1 x 6 - 9 x 5 5 + C

u x = - 9 5 x + C x 6

Passo 4

Legal, encontramos o valor de u . Mas até onde eu me lembro, a questão pediu y , né? Então vamos retornar para essa variável. Como:

u = y - 3

Vamos ter:

y - 3 x = - 9 5 x + C x 6

Podemos deixar implícita neste caso, pois não se trata de uma EDO linear.

Passo 5

Além da EDO, a questão também nos deu o valor inicial y 1 = - 1 , então podemos determinar o valor da constante C . Substituindo: y - 3 x = - 9 5 x + C x 6

y 1 - 3 = - 9 5 ⋅ 1 + C 1 6  

- 1 - 3 = - 9 5 + C

C = - 1 + 9 5 = 4 5

Assim, vamos ter:

y - 3 x = 1 5 - 9 5 x + 4 x 6

Resposta

y - 3 x = 1 5 - 9 5 x + 4 x 6

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