Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Encontre todas as soluções da EDO

y ' = y x y 3 - 1

Passo 1

Essa equação é algo meio estranho, mas repara que temos y a vezes uma função de x do lado direito, assim isso parece uma EDO de Bernoulli. Lembra como é essa EDO?

y ' + P x y = Q x y a

Vamos escrever essa EDO dessa forma

y ' + y = x y 4

Então essa é uma Edo de Bernoulli

Passo 2

Vamos começar a resolver a equação agora. A primeira coisa a fazer é dividir toda equação por y 4 , que é a mesma coisa de multiplicar por y - 5 .

y - 4 y ' + y - 3 = x

Passo 3

Fazendo agora a substituição ϕ = y - 3 que implica em ϕ ' = - 3 y - 4 y ' ficamos com

- 1 3 ϕ ' + ϕ = x

E como já era de se esperar, a equação virou linear. Que resolvemos com uma fórmula conhecida.

Passo 4

Resolvendo

ϕ ' - 3 ϕ = - 3 x

Vamos ter

p x = - 3

E

g x = - 3 x

Vamos começar achando v x

v x = e ∫ - p x d x

Assim:

v x = e 3 x

Vamos agora achar u x

u x = ∫ g x e ∫ p x d x d x + C

u x = ∫ - 3 x e - 3 x d x + C

u x = - 3 ∫ x e - 3 x d x + C

u x = 1 3 e - 3 x ( 3 x + 1 ) + C

Passo 5

Agora vamos ter

ϕ x = v x ∙ u x

ϕ x = e 3 x 1 3 e - 3 x ( 3 x + 1 ) + C

ϕ x = x + 1 3 + C e 3 x

Voltado para a variável y

y - 3 = x + 1 3 + C e 3 x

Resposta

y - 3 = x + 1 3 + C e 3 x

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