Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Encontre todas as soluções da EDO:

x 2 + x + 1 y y ' + 2 x + 1 y 2 = 2 x - 1

Passo 1

Ok, vamos começar tentando deixar o y ' sozinho. Para isso, vamos dividir toda a equação por x 2 + x + 1 y :

y ' + 2 x + 1 x 2 + x + 1 ⋅ y = 2 x - 1 x 2 + x + 1 ⋅ y - 1

Opa, novamente temos uma EDO na forma: y ' + P x y = Q x y α  

Com α = - 1 ≠ 0 ≠ 1 . Assim, temos uma equação de Bernoulli. Então vamos para o passo a passo para resolvê-la.

Passo 2

Começamos dividindo tudo por y α = y - 1 :

y ' y - 1   + 2 x + 1 x 2 + x + 1 ⋅ y y - 1   = 2 x - 1 x 2 + x + 1 ⋅ y - 1 y - 1

y ⋅ y ' + 2 x + 1 x 2 + x + 1 ⋅ y 2 = 2 x - 1 x 2 + x + 1

Passo 3

Beleza, agora fazemos a substituição

u = y 1 - α = y 1 - - 1 = y 2

e vamos substituir na EDO. Para poder contemplar a derivada, vamos derivar u usando a regra da cadeia:

u ' = y 2 ' = 2 y y '

Assim, para cada parte da EDO, temos:

u ' = 2 y y ' ⟹ y y ' = u ' 2

u = y 2

O que significa que:

y ⋅ y ' + 2 x + 1 x 2 + x + 1 ⋅ y 2 = 2 x - 1 x 2 + x + 1 ⟹ u ' 2 + 2 x + 1 x 2 + x + 1 u = 2 x - 1 x 2 + x + 1

Multiplicando tudo por 2 para deixar o u ' sozinho chegamos em:

u ' + 4 x + 2 x 2 + x + 1 u = 4 x - 2 x 2 + x + 1

Agora temos uma EDO na forma: u ' + A x u = B x

Sendo:

A x = 4 x + 2 x 2 + x + 1 B x = 4 x - 2 x 2 + x + 1

Que é uma equação linear! Esse tipo de EDO terá solução na forma:

u x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Sendo I x o fator integrante dado por:

I x = e ∫ A x d x

Passo 4

Ok, então vamos resolver essa EDO, a começar pela integral do fator integrante:

∫ A x d x = ∫ 4 x + 2 x 2 + x + 1 d x = 2 ⋅ ∫ 2 x + 1 x 2 + x + 1 d x

Como resolver essa integral? Bem, olha lá que temos uma função x 2 + x + 1 e sua derivada 2 x + 1 aparecendo, então podemos usar substituição simples com:

w = x 2 + x + 1

d w = 2 x + 1 d x

Ficando:

2 ⋅ ∫ 2 x + 1 x 2 + x + 1 d x = 2 ⋅ ∫ d w w = 2 ln ⁡ w = 2 ln ⁡ x 2 + x + 1 = ln ⁡ x 2 + x + 1 2

Beleza, então o fator integrante será:

I x = e ∫ A x d x = e ln ⁡ x 2 + x + 1 2 = x 2 + x + 1 2

Passo 5

O fator integrante já foi, vamos agora encontrar a integral:

∫ I x B x d x = ∫ x 2 + x + 1 2 ⋅ 4 x - 2 x 2 + x + 1 d x

Olhando para esse integrando, vamos ter:

x 2 + x + 1 2 ⋅ 4 x - 2 x 2 + x + 1 = x 2 + x + 1 ⋅ 4 x - 2 = 4 x 3 + 2 x 2 + 2 x - 2

Ficando:

∫ 4 x 3 + 2 x 2 + 2 x - 2 d x = x 4 + 2 3 x 3 + x 2 - 2 x

Passo 6

Feito os cálculos, substituímos na fórmula geral:

u x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

u x = x 4 + 2 3 x 3 + x 2 - 2 x + C x 2 + x + 1 2

Poderíamos chegar a resposta final a partir disso, mas para ficar igual ao gabarito oficial, multiplicamos e dividimos por 3 :

u x = 3 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 - 6 x + 3 C 3 x 2 + x + 1 2

Além disso, temos que:

3 x 2 + x + 1 2 = 3 x 4 + 6 x 3 + 9 x 2 + 6 x + 3

Então, vamos ter:

u x = 3 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 - 6 x + 3 C 3 x 2 + x + 1 2

= 3 x 4 + 6 x 3 + 9 x 2 + 6 x + 3 - 4 x 3 - 6 x 2 - 12 x - 3 + 3 C 3 x 2 + x + 1 2

Agora, definindo K ≔ - 1 + C :

u x = 1 + 4 x 3 + 6 x 2 + 12 x 3 x 2 + x + 1 2 + K x 2 + x + 1 2

Achamos u , mas a questão quer y , então usamos lá atrás que u = y 2 :

y 2 = 1 + 4 x 3 + 6 x 2 + 12 x 3 x 2 + x + 1 2 + K x 2 + x + 1 2

E essa é a reposta final do problema 😊

Resposta

y 2 = 1 + 4 x 3 + 6 x 2 + 12 x 3 x 2 + x + 1 2 + K x 2 + x + 1 2

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