Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

Exercício nº 22 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada

y 1 / 2 d y d x + y 3 / 2 = 1 ,     y 0 = 4

Passo 1

Precisamos dar uma arrumada nessa equação Dividindo toda a equação por y 1 / 2

d y d x + y 3 / 2 y 1 / 2 = 1 y 1 / 2

d y d x + y = y - 1 / 2

y ' + y = y - 1 / 2

De quem é essa equação? Bernoulli é claro. Só partir pro abraço.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos dividir toda a equação por y - 1 / 2

y ' y - 1 / 2 + y y - 1 / 2 = y - 1 / 2 y - 1 / 2

y 1 / 2 y ' + y 1 / 2 y = 1

Passo 3

Fazendo a substituição t = y 1 - - 1 / 2 = y 3 / 2 que implica em t ' = 3 2 y 1 / 2 y ' que por sua vez equivale a 2 t ' 3 = y 1 / 2 y '

2 t ' 3 + t = 1

t ' + 3 2 t = 3 2

Agora ela virou linear. E conhecemos a fórmula para resolver uma linear.

Calculando v x

3 2 d x = 3 2 x

Então v x = e 3 x / 2

Calculando u

u = g x e p x d x d x   = e 3 x / 2 . 3 2 d x + C

u = 3 2 e 3 x / 2 d x + C = 3 2   .     2 3 e 3 x / 2 + c = e 3 x / 2 + C

A solução da linear é dada por:

t = u v = 1 e 3 x / 2 e 3 x / 2 + C = C e - 3 x / 2 + 1

Passo 4

Voltando para a variável y

y 3 / 2 = C e - 3 x / 2 + 1

y = C e - 3 x / 2 + 1 2 / 3

Passo 5

Temos que usar o valor inicial que o enunciado nos deu.

y 0 = 4

Substituindo na equação

4 = C e - 3.0 / 2 + 1 2 / 3

4 = C + 1 2 / 3

C + 1 = 4 3 / 2 = 4 3 = 2 3 = 8

C + 1 = 8

C = 7

A equação fica então

y = 7 e - 3 x / 2 + 1 2 / 3

Resposta

y = 7 e - 3 x / 2 + 1 2 / 3

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