Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

Exercício nº 19 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Resolva a equação diferencial de Bernoulli

y ' - 2 x y - 4 x y 1 2 = 0

Passo 1

De cara ela já é de Bernoulli, o expoente não é inteiro, mas para ser de Bernoulli basta que ele seja real. Então vamos já dividir toda a equação por y 1 2 .

y ' y - 1 2 - 2 x y y - 1 2 = 4 x y 1 2 y - 1 2

y - 1 2 y ' - 2 x y 1 2 = 4 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer a nossa velha e conhecida substituição para resolver a equação de Bernoulli, a saber, t = y 1 2 , que implica em t ' = 1 2 y - 1 2 y ' que por sua vez implica em 2 t ' = y - 1 2 y '

2 t ' - 2 x t = 4 x

t ' - x t = 2 x

Que, como esperávamos, é linear do tipo

t ' + A x t = B ( x )

Passo 3

Resolvendo a linear t ' - x t = 2 x

Calculando o   I = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ - x d x = - x 2 2

Então

I = e - x 2 / 2

Calculando ∫ I x B x d x , temos

∫ e - x 2 2 . 2 x d x = 2 ∫ x e - x 2 2 d x = - 2 e - x 2 2

Logo, como

t = 1 I x ∫ I x B x d x + C

t = 1 e - x 2 2   - 2 e - x 2 2 + C = e x 2 2 - 2 e - x 2 2 + C = C e x 2 2 - 2

Passo 4

Voltando para a variável y e lembrando que y 1 / 2 = t

y 1 2 = C e x 2 2 - 2

y = C e x 2 2 - 2 2

Resposta

y = C e x 2 2 - 2 2

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