Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

Exercício nº 20 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Resolva a equação diferencial de Bernoulli

x y ' - y 2 ln x = y 2

Passo 1

Vamos manipular algebricamente essa equação para colocarmos ela na forma que conhecemos da equação de Bernoulli

x y ' - y 2 ln x = y 2 y ' - y 2 ln x x = y 2 x

Pronto agora ela está bonitinha do jeito que a gente quer.

y ' - 1 2 x ln x y = 1 x y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar a resolver a equação agora. A primeira coisa a fazer é dividir toda equação por y 2 , que é a mesma coisa de multiplicar por y - 2 .

y - 2 y ' - 1 2 x ln x y y - 2 = 1 x y 2 y - 2

y - 2 y ' - 1 2 x ln x y - 1 = 1 x

Passo 3

Fazendo agora a substituição t = y - 1 que implica em t ' = - y - 2 y ' ficamos com

- t ' - 1 2 x ln x t = 1 x

t ' + 1 2 x ln x t = - 1 x

E como já era de se esperar, a equação virou linear. Que resolvemos com uma fórmula conhecida.

Passo 4

Agora basta resolver essa EDO linear

t ' + 1 2 x ln x t = - 1 x

Que é do tipo

t ' + A x t = B ( x )

A solução disso aí é

t x = 1 I x I x B x d x + C

Com I x = e A x d x

(Se isso te parece estranho, dá uma olhada no nosso material de EDO linear de 1ª ordem 😉)

Calculando A x d x

1 2 x ln x d x = 1 2 1 x ln x d x = 1 2 ln ln x = ln ln x 1 2

Como raiz já impõem que a função tem que ser maior que zero, vamos tirar o módulo.

Logo I ( x ) é

I ( x ) = e ln ln x 1 2 = ln x 1 2

Calculando I x B x d x :

I x B x d x = ln x 1 2 - 1 x d x = - ln x . 1 x d x I x B x d x = - 2 3 ln x 3

OBS: Para resolver a integral ln x . 1 x d x faça uma substituição simples:

w = ln x d w = 1 x d x

Então, continuando:

t = 1 I x I x B x d x + C = 1 ln x   - 2 3 ln x 3 + C

t x = - 2 3 ln x + C ln x - 1 / 2  

Passo 5

Voltado para a variável y

t = y - 1 y = t - 1

y = - 2 3 ln x + C ln x - 1 / 2 - 1

Resposta

y = - 2 3 ln x + C ln x - 1 / 2 - 1

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