Exercícios Resolvidos de Equação do 1º Grau

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Enunciado

Considere a equação abaixo e faça o que se pede:

2 x 2 - 1 = 1 1 5 - 1 2

a. Mostre que o valor de x na equação acima é um número irracional e encontre q 1 e q 2 ∈ Q tais que q 1 < x < q 2 . Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma equação de primeiro grau e pediu pra gente mostrar que o valor de x nessa equação é um número irracional. Lembra o que é um número irracional?

Os números racionais são os números que não podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, são as raízes não exatas e as dízimas não periódicas, beleza?

Então, vamos isolar x na equação e verificar se seu valor se encaixa nesse conjunto. Vamos lá!

Passo 2

Vamos verificar a equação:

2 x 2 - 1 = 1 1 5 - 1 2

Tirando o M.M.C das frações no denominador do lado direito, temos:

2 x 2 - 1 = 1 2 - 5 10

Fazendo a divisão de frações:

2 x 2 - 1 = 1 ∙ 10 - 3

2 x 2 - 1 = - 10 3

Agora vamos multiplicar os dois lados por 1 2 - 1 :

2 x = - 10 3 2 - 1

Multiplicando os dois lados por 1 2 agora, temos:

x = - 10 6 2 - 1

Simplificando:

x = - 5 3 2 - 1

Para tirar a raiz do denominador, podemos multiplicar a fração pelo conjugado 2 + 1 2 + 1 :

x = - 5 3 2 - 1 ∙ 2 + 1 2 + 1

x = - 5 2 + 1 3

Calculando esse valor, temos na forma decimal:

x ≈ - 4,02368927 …

Repare que essa é uma dízima não periódica, porque não há um padrão (um período) de repetição na parte fracionária. Dessa forma, podemos dizer que x é um número irracional.

Um número racional que estaria depois de x poderia ser - 10 3 que representa a dízima periódica - 3,3333 … e que, portanto, pertence aos números racionais. E um número menor que x contido no conjunto dos números racionais, seria - 5 . Então, temos q 1 = - 5   e   q 2 = - 10 3 ∈ Q , com q 1 < x < q 2 .

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

x ≈ - 4,02368927 …