Exercícios Resolvidos de Equação do 1º Grau

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Enunciado

Estude o sinal da expressão 1 - 3 x x - 2 , sabendo que - 2 ≤ x ≤ 5 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma equação envolvendo módulo e pediu pra gente estudar o sinal dessa equação sabendo que x tá entre - 2 e 5 .

Para estudar o sinal da expressão, vamos analisar os casos onde a expressão é positiva, negativa ou nula, considerando numerador e denominador separadamente no intervalo dado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos analisar três situações, quando a expressão toda é maior do que zero, quando é menor do que zero e quando é igual a zero.

Para que ela seja maior do que zero, temos:

1 - 3 x x - 2 > 0

E numerador e denominador precisam ter sinais iguais, ambos positivos ou ambos negativos. Para ambos positivos, temos:

1 - 3 x > 0 → 1 > 3 x → x < 1 3

x - 2 > 0 → x > 2 →   - 2 > x > 2

Quando ambos forem negativos, temos:

1 - 3 x < 0 → 1 < 3 x → x > 1 3

x - 2 < 0 → x < 2 →   - 2 < x < 2

Juntando tudo a gente percebe que, para que a expressão seja positiva, x deve estar no conjunto:

S = - ∞ ,   - 2 ∪ 1 3 ,   2

Passo 3

Agora para que a expressão seja menor do que zero, numerador e denominador precisam ter sinais diferentes, então:

1 - 3 x > 0   e   x - 2 < 0

Ou

1 - 3 x < 0   e   x - 2 > 0

No primeiro caso, temos x < 1 3 e - 2 < x < 2 . E para o segundo caso, temos x > 1 3 e - 2 > x > 2 . Ou seja,

S = - 2 , 1 3 ∪ 2 ,   ∞

Passo 4

Por fim, quando nossa expressão é igual a zero, temos:

1 - 3 x x - 2 = 0

Pra que ela seja zero, apenas o numerador precisa ser igual a zero, então:

1 - 3 x = 0

x = 1 3

Mas o enunciado nos diz que - 2 ≤ x ≤ 5 , então nossa expressão precisa ser positiva ou nula para atender essa condição do intervalo.

Prontinho, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

1 - 3 x x - 2 ≥ 0