Exercícios Resolvidos de Equação do 1º Grau

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Enunciado

Resolva a equação abaixo (em R ) usando as substituições indicadas. Observe o domínio de cada variável e teste as soluções encontradas.

x = 6 - x u = x

Passo 1

OK, vamos começar verificando o domínio. Precisamos que tudo que esteja dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, então vamos ter, para x :

x ≥ 0

Assim, nosso domínio será:

D = x ∈ R : x ≥ 0

Passo 2

Legal, agora vamos aplicar a substituição. Temos que:

x = 6 - x

x 2 = 6 - x

Então, para a substituição desejada ( u = x ):

u 2 = 6 - u

Passo 3

Agora, isolando tudo de um lado, temos uma equação de segundo grau:

u 2 + u - 6 = 0

Na forma: a u 2 + b u + c = 0

Com:

a = 1 b = 1 c = - 6

Que, por Bhaskara, tem solução:

u = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores: u = - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 6 2 ⋅ 1

u = - 1 ± 1 + 24 2 = - 1 ± 25 2 = - 1 ± 5 2

Assim, para cada sinal:

u 1 = - 1 + 5 2 = 4 2 = 2

u 2 = - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

Passo 4

Beleza, achamos u , mas queremos x . Então, para isso, usamos a definição:

u = x

Assim, para cada caso:

x = 2

Elevando ao quadrado:

x = 4

Agora, vamos ter que:

x = - 3

Assim, elevando ao quadrado:

x = - 3 2 = 9

Passo 5

Agora resta testar os dois candidatos à solução. Todos os valores que encontramos são maiores que zero, então estão dentro do domínio. Vamos substituir na equação:

x = 6 - x

Para x = 4 :

4 = 6 - 4

4 = 6 - 2

4 = 4

Que é verdade, então x = 4 é mesmo solução.

Para x = 9 :

9 = 6 - 9

9 = 6 - 3

9 = 3

Que é falso! Então x = 9 não vai ser solução, restando apenas:

S = 4

Resposta

S = 4