Exercícios Resolvidos de Equação do 1º Grau

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Enunciado

Resolva a equação abaixo (em R ) usando as substituições indicadas. Observe o domínio de cada variável e teste as soluções encontradas.

2 x + 3 = 7 x u = x

Passo 1

OK, vamos começar verificando o domínio. Precisamos que tudo que esteja dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, então vamos ter, para x :

x ≥ 0

Assim, nosso domínio será:

D = x ∈ R : x ≥ 0

Passo 2

Legal, agora vamos aplicar a substituição. Temos que:

2 x + 3 = 7 x

2 x 2 + 3 = 7 x

Então, para a substituição desejada ( u = x ):

2 u 2 + 3 = 7 u

Passo 3

Agora, isolando tudo de um lado, temos uma equação de segundo grau:

2 u 2 - 7 u + 3 = 0

Na forma: a u 2 + b u + c = 0

Com:

a = 2 b = - 7 c = 3

Que, por Bhaskara, tem solução:

u = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores: u = 7 ± - 7 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2

u = 7 ± 49 - 24 4 = 7 ± 25 4 = 7 ± 5 4

Assim, para cada sinal:

u 1 = 7 + 5 4 = 12 4 = 3

u 2 = 7 - 5 4 = 2 4 = 1 2

Passo 4

Beleza, achamos u , mas queremos x . Então, para isso, usamos a definição:

u = x

Assim, para cada caso:

x = 3

Elevando ao quadrado:

x = 9

Agora, vamos ter que:

x = 1 2

Assim:

x = 1 4

Passo 5

Agora resta testar os dois candidatos à solução. Todos os valores que encontramos são maiores que zero, então estão dentro do domínio. Vamos substituir na equação:

2 x + 3 = 7 x

Para x = 9 :

2 ⋅ 9 + 3 = 7 9

18 + 3 = 7 ⋅ 3

21 = 21

Que é verdade, então x = 9 é mesmo solução.

Para x = 1 / 4 :

2 ⋅ 1 4 + 3 = 7 1 4

1 2 + 3 = 7 ⋅ 1 2

7 2 = 7 2

Então x = 1 / 4 também é solução:

S = 1 4 , 9

Resposta

S = 1 4 , 9