Exercícios Resolvidos de Equação do 1º Grau

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Enunciado

Resolva a equação abaixo (em R ) usando as substituições indicadas. Observe o domínio de cada variável e teste as soluções encontradas.

x - 4 x = - 3 u = x

Passo 1

OK, vamos começar verificando o domínio. Precisamos que tudo que esteja dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, então vamos ter, para x :

x ≥ 0

Assim, nosso domínio será:

D = x ∈ R : x ≥ 0

Passo 2

Legal, agora vamos aplicar a substituição. Temos que:

x - 4 x = - 3

x 2 - 4 ⋅ x = - 3

Então, para a substituição desejada ( u = x ):

u 2 - 4 u = - 3

Passo 3

Agora, isolando tudo de um lado, temos uma equação de segundo grau:

u 2 - 4 u + 3 = 0

Na forma: a u 2 + b u + c = 0

Com:

a = 1 b = - 4 c = 3

Que, por Bhaskara, tem solução:

u = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores: u = 4 ± - 4 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 3 2 ⋅ 1

u = 4 ± 16 - 12 2 = 4 ± 4 2 = 4 ± 2 2

Assim, para cada sinal:

u 1 = 4 + 2 2 = 6 2 = 3

u 2 = 4 - 2 2 = 2 2 = 1

Passo 4

Beleza, achamos u , mas queremos x . Então, para isso, usamos a definição:

u = x

Assim, para cada caso:

x = 3

Elevando ao quadrado:

x = 9

Agora, vamos ter que:

x = 1

Assim:

x = 1

Passo 5

Resta testar os dois candidatos à solução. Todos os valores que encontramos são maiores que zero, então estão dentro do domínio. Vamos substituir na equação:

x - 4 x = - 3

Para x = 9 :

9 - 4 ⋅ 9 = - 3

9 - 4 ⋅ 3 = - 3

- 3 = - 3

Que é verdade, então x = 9 é mesmo solução.

Para x = 1 :

1 - 4 ⋅ 1 = - 3

1 - 4 = - 3

- 3 = - 3

Então x = 1 também é solução:

S = 1,9

Resposta

S = + 7 , - 7