Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em duas Dimensões

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Enunciado

03) Considere o sistema em equilíbrio indicado na figura, composto pela estrutura de 5 barras ABCD, pelos blocos H e I, pelas polias ideais E, F e G e por fios também ideais. Os pesos dos blocos H e I são 10P e 8P, respectivamente. Os demais componentes do sistema têm peso desprezível. Há ainda uma força vertical de magnitude 4P aplicada na articulação, conforme mostrado na figura. O bloco 1 encontra-se apoiado em uma superfície plana inclinada de 45° com relação à horizontal. Pede-se:

a) Os diagramas de corpo livre da estrutura composta por 5 barras ABCD, das polias E, F e G e dos blocos H e I.

b) As reações no apoio em A e na articulação em B.

c) As forças internas às barras AB, BC e AC indicando se são de tração ou compressão.

d) O menor valor do coeficiente de atrito estático entre o bloco 1 e o plano inclinado a fim de assegurar o equilíbrio do sistema.

Passo 1

Eaí pessoal, tudo bem com vocês?

a) Pra começar essa questão, precisamos desenhar os diagramas de corpo livre (DCL) da nossa estrutura.

Iniciando pelas 5 barras ABCD, temos em A um apoio do 1° gênero (reação apenas vertical) e em B um apoio do 2° gênero (reação vertical e horizontal). Além disso, em C temos uma tração T puxando a estrutura, e em D temos uma carga externa de valor 4P.

Beleza, acompanharam? Já poderíamos desenhar o DCL dessa parte.

Para cada polia temos a tração T puxando-as e para o bloco descendo o plano inclinado temos além da tração, o seu peso, normal e atrito.

Massa! Desenhando os DCL teremos:

Prontinho 😊

Passo 2

b) Aqui precisamos descobrir as reações de apoio da estrutura de 5 barras ABCD.

Escrevendo as equações de equilíbrio na vertical e horizontal, temos que:

X B + T = 0 ∴ X B = - T

Y A + Y B + 4 P = 0

Fazendo o momento em relação ao ponto A, temos:

4 P ⋅ 3 L - T ⋅ 3 L + Y B ⋅ 4 L = 0

⇒ Y B =   3 4 T - 3 P

Beleza! Após encontrarmos essas equações, ficou evidente que precisamos determinar a tração no fio. Então, olhando o bloco H, temos:

T H = 10 P

Já pela polia F, temos:

2 T = T H = 10 P ∴ T = 5 P

Top! Substituindo esse valor nas equações encontradas anteriormente, teremos:

X B = - 5 P

Y B = 3 4 ⋅ 5 P - 3 P = 3 4 P  

⇒ Y A =   - 19 P 4

Muito bom! Conseguimos determinar as reações nos apoios. O sinal negativo em Y A significa que o sentido proposto inicialmente está invertido.

Passo 3

c) Devemos encontrar o valor das forças internas nas barras AB, BC e AC. Como temos uma estrutura de treliça para as 5 barras ABCD, aplicando o método dos nós e supondo todas as barras inicialmente tracionadas, temos:

Nó B:

X B - T A B = 0   ∴ T A B = X B =   - 5 P   (compressão)

Y B + T B C = 0 ∴ T B C =   - Y B =   - 3 P 4 (compressão)

Nó C:

3 P 4 + T C D 2 2 - 3 T A C 5 = 0

5 P - T C D 2 2 - 4 T A C 5 = 0

Dessas duas equações, sai que:

T A C = 115 P 28 (Tração)

Eba! Foi mais uma letra, falta só a última agora.

Passo 4

d) Nos é pedido para calcular o menor valor do coeficiente de atrito estático de modo que o equilíbrio do bloquinho no plano inclinado esteja assegurado.

Daí, pelo DCL do bloquinho, podemos escrever que:

T + A - 8 P 2 2 = 0

N - 8 P 2 2 = 0

Da primeira equação, vem que:

A = 8 P 2 2 - 5 P  

Da segunda equação:

N = 4 P 2

Na condição de atrito estático, devemos ter:

A ≤ μ E ⋅ N  

∴ μ E ≤   A N = 4 P 2 - 5 P 4 P 2 = 1 - 5 4 2 = 1 - 5 2 8

Na condição limite, temos o menor valor possível:

μ E = 1 - 5 2 8

Aeeee, finalizamos mais uma questão! Espero que todos vocês tenham entendido bem direitinho.Até a próxima! 😊

Resposta

a) Resolução no texto.

b) X B = - 5 P

Y B = 3 4 P  

Y A =   - 19 P 4

c)

T A B = X B =   - 5 P   (compressão)

T B C =   - 3 P 4 (compressão)

T A C = 115 P 28 (Tração)

d) μ E = 1 - 5 2 8

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