Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em duas Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 99, 3/22

Determine a força P necessária para começar a rolar o cilindro uniforme de massa m sobre o degrau h .

Passo 1

Bom, a primeira coisa que precisamos fazer é determinar quais são as forças que atuam no cilindro. São essas:

A força P → , que empurra o cilindro. A normal N → , devido ao contato do cilindro com o chão. E a reação R → , devido ao contato do cilindro com o degrau.

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Passo 2

Beleza, mas nós queremos a força P → necessária para o cilindro subir. Isso quer dizer, em outras palavras, que a normal com o chão é nula: na iminência do giro, o cilindro perde o contato com o chão:

Bom, essa informação não vai ser tão relevante para achar o valor de P → , pelo menos não através do caminho que usaremos. Mas fica aí a informação teórica sobre isso.

Observação: estamos, é claro, procurando o valor do módulo de P → .

Passo 3

Bom, preste atenção no triângulo abaixo. Ele é formado pelas distâncias dadas na questão:

Vamos tirar este triângulo de dentro do outro desenho para facilitar a nossa visualização:

Passo 4

Vamos calcular o cosseno do ângulo que aparece no triângulo. Você entenderá nos próximos passos, quando formos decompor a força peso no cálculo do momento:

cos ⁡ θ = r - h r

E, usando:

cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

s e n θ = ( 1 - cos 2 ⁡ θ

Sabemos que:

cos ⁡ θ = r - h r

Então, vamos substituir isso na outra equação:

s e n θ = 1 - r - h r 2

Desenvolvendo, chegamos a:

s e n θ = 2 r h - h 2 r

Passo 5

Agora vem o pulo do gato: vamos usar o equilíbrio de momentos para calcular o valor de P .

Na iminência de girar, o momento causado pela força P compensa os momentos das outras forças.

Tomando o ponto de contato do cilindro com o degrau como referência, teremos as seguintes forças exercendo o momento: o peso e a força P :

Assim:

P . r - h - m g d = 0

Sacou?

Bom, e quanto vale d ?

Passo 6

Agora sim vamos usar o nosso triângulo:

Sacou? d é dado por:

d = r s e n θ

E quanto vale s e n θ ?

s e n θ = 2 r h - h 2 r

Assim:

d = r . 2 r h - h 2 r = 2 r h - h 2

Assim, voltando ao cálculo dos momentos:

P . r - h - m g d = 0

P . r - h - m g 2 r h - h 2 = 0

P = m g 2 r h - h 2 r - h

Pronto!

Resposta

P = m g 2 r h - h 2 r - h

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