Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em duas Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 99, 3/53

Determine as reações externas em A e F para a treliça de um telhado carregada como mostrado. As cargas verticais representam o efeito de sustentação dos materiais do telhado, enquanto a força de 400   N representa uma carga devida ao vento.

Passo 1

O diagrama de corpo livre dessa treliça fica assim:

Perceba que o apoio A impede o movimento tanto na vertical quanto na horizontal, por isso tem duas reações de apoio. Já o apoio em F é um rolete, ou seja, permite que a estrutura se mova na horizontal, mas impede o movimento na vertical.

E não esqueça que só colocamos reação de apoio na direção em que há o impedimento de movimento.

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Passo 2

Para achar as reações, temos que começar fazendo o somatório de momentos com relação a um ponto. Mas qual ponto vamos escolher?

Temos que escolher um ponto que tenha uma das nossas incógnitas, ou seja, o ponto A ou F . Dessa forma, eliminamos uma das incógnitas, já que a força que está bem em cima do ponto que escolhermos não possui braço de alavanca.

Vamos escolher o ponto A .

∑ M → A = 0 →

Repare que não temos as distâncias da maioria das forças... Então, vamos achar!

Passo 3

Vamos começar separando os triângulos que formam a treliça e achando seus ângulos. Vamos começar por este aqui:

A gente sabe que a soma de todos os ângulos internos de um triângulo é igual a 180 ° , então o ângulo α será:

60 ° + 30 ° + ( 30 ° + β ) = 180 °       →           β = 30 °

Então, temos o seguinte triângulo:

Vamos usar a lei dos senos para achar o valor do lado a :

s e n 90 ° 10 = s e n 30 ° a           →           a = 10 s e n 30 ° s e n 90 °

a = 5   m

Como o triângulo é retângulo, pois tem um ângulo de 90 ° , vamos usar o Teorema de Pitágoras para achar o lado b :

10 2 = 5 2 + b 2         →             b = 100 - 25

b = 8,7   m

Vamos passar para outro triângulo.

Passo 4

Agora vamos pegar esse triângulo aqui:

O ângulo α será:

60 ° + 60 ° + ( 30 ° + α ) = 180 °       →           α = 30 °

Como este triângulo tem todos os ângulos iguais a 60 ° ele é um triângulo equilátero. Lembra deste triângulo? Ele tem todos os lados iguais. Ou seja, todos os lados do nosso triângulo serão iguais a 5   m :

Passo 5

Agora vamos achar a distância das forças com relação ao ponto A que ainda não sabemos:

Para achar a distância d 1 vamos usar o triângulo destacado na figura. Precisamos saber quanto vale metade da sua base. Mas repare que esse triângulo é isósceles, pois tem os dois ângulos iguais. Você lembra o que é triângulo isósceles? É aquele que tem dois lados iguais.

Então:

Agora conseguimos achar a distância d 1 :

d 1 = 5 + 2,5         →             d 1 = 7,5   m        

Beleza?

Passo 6

Vamos a achar a distância d 2 agora:

Vamos usar trigonometria para achar a distância d 2 :

cos ⁡ 60 ° = d 2 5         →             d 2 = 5 cos ⁡ 60 °

d 2 = 2,5   m

Passo 7

Agora só falta achar a distância da força de 400   N . Mas repare que esta força está inclinada, então vamos começar decompondo-a:

Agora vamos achar as distâncias dessas duas componentes até o ponto A :

Para isso, vamos começar usando semelhança de triângulos com dois triângulos que tem ângulos internos iguais, são eles:

Então:

y 5 = 5 10         →             y = 2,5   m

Agora conseguimos achar as distâncias d 3 e d 4 :

Vamos usar trigonometria para achar d 3 :

cos ⁡ 60 ° = d 3 2,5           →             d 3 = 2,5 cos ⁡ 60 °

d 3 = 1,25   m

Agora vamos achar d 4 :

s e n   60 ° = d 4 2,5           →             d 4 = 2,5 s e n   60 °

d 4 = 2,2   m

Pronto, temos todas as distâncias!!!!

Passo 8

Agora sim podemos calcular o somatório de momento com relação ao ponto A . Para isso vamos considerar o momento positivo no sentido anti-horário:

∑ M → A = 0 →

F y 10 - 250 10 - 500 7,5 - 500 ( 5 ) - 500 2,5 - 400 s e n   30 ° 1,25 - 400 cos ⁡ 30 ° ( 2,2 ) = 0

F y = 1100   N

Passo 9

Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais:

∑ F → x = 0 →

A x + 400 c o s   30 ° = 0

A x = - 346   N

Repare que o sinal deu negativo. Isso significa que arbitramos o sentido da reação A x ao contrário no diagrama de corpo livre. Ou seja, está apontando para o sentido negativo do eixo x .

Passo 10

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F → y = 0 →      

  A y + 1100 - 250 - 500 - 500 - 500 - 400 sen ⁡ 30 ° - 250 = 0

A y = 1100   N

Resposta

A y = 1100   N

A x = - 346   N

F y = 1100   N

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