Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em duas Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 99, 3/7

A viga uniforme tem massa de 50   k g por metro de comprimento. Calcule as reações no apoio O . As cargas mostradas estão em um plano vertical.

Passo 1

O diagrama de corpo livre pode ser representado por:

Perceba que o apoio é um engaste, então tem reações horizontal, vertical e o momento.

A força P 1 é o peso da barra horizontal e P 2 é o peso do trecho correspondente a barra inclinada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular as forças peso das barras. Como a viga é uniforme e possui 50   k g por metro de comprimento, a massa da barra horizontal é:

m 1 = 50 1,8 + 0,6       →             m 1 = 120   k g

Então, o módulo de P 1   é:

P 1 = 120 9,81           →             P 1 = 1177,2   N

Como todas as forças estão em k N , vamos passar o peso para esta unidade também:

P 1 = 1,2   k N

Já a massa da barra inclinada é:

m 2 = 50 0,6 + 0,6       →             m 1 = 60   k g

Então, o módulo de P 2   é:

P 2 = 60 9,81           →             P 2 = 589   N

Passando para a unidade de k N , temos que:

P 2 = 0,6   k N

Beleza?

Passo 3

Vamos começar usando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto O :

∑ M → O = 0 →      

Mas antes vamos decompor aquela força inclinada de 1,4   k N :

Como o ângulo de inclinação da força é de 30 ° com relação à vertical, temos que:

Agora vamos usar o triângulo para achar as distâncias com relação ao ponto O . Pelo desenho, temos que:

α + 30 ° = 90 °         →             α = 60 °

Se um dos ângulos internos de um triângulo retângulo é de 60 ° , então o outro é 30 ° :

Portanto, o comprimento y será:

y = 1,2 s e n   30 °         →             y = 0,6   m

Este valor será o braço de alavanca da componente horizontal da força de 1,4   k N com relação ao ponto O :

E o comprimento x será:

x = 1,2 cos ⁡ 30 °         →             x = 1   m

Então, o braço de alavanca da componente vertical da força de 1,4   k N com relação ao ponto O é de:

Passo 4

Agora sim podemos calcular o somatório de momento:

∑ M → O = 0 →

M - 1,2 1,2 - 3 1,8 + 4 - 0,6 1,8 + 0,6 + 1 2 - 1,4 s e n   30 ° 0,6 - 1,4 cos ⁡ 30 ° ( 1,8 + 0,6 + 1 ) = 0

Repare que o braço de alavanca do peso da barra inclinada P 2 é igual a metade da altura do triângulo:

Então, a reação momento será de:

M = 9,12   k N ⋅ m

Como o momento deu positivo, indica que arbitramos um sentido correto para a reação de apoio, ou seja, o momento é no sentido anti-horário.

Passo 5

Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais:

∑ F → x = 0 →

O x + 1,4 s e n   30 ° = 0

O x = - 0,7   k N

Repare que o sinal deu negativo, ou seja, arbitramos o sentido contrário para a reação O x . Dessa forma, esta força aponta para a esquerda (sentido contrário ao que desenhamos antes):

Passo 6

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F → y = 0 →      

  O y - P 1 - P 2 - 3 - 1,4 cos ⁡ 30 ° = 0

O y - 1,2 - 0,6 - 4,21 = 0

O y = 6   k N

Resposta

O x = - 0,7   k N

O y = 6   k N

M = 9,12   k N ⋅ m

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