Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em duas Dimensões

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Enunciado

02) A figura mostra a seção transversal de um reservatório, de largura L (ortogonal ao plano da figura), projetado para armazenar um fluido ideal de densidade ρ (kg/m³). O fluido é mantido no reservatório por meio da comporta AOB, de massa desprezível, articulada em O e apoiada no solo em A, sem atrito. A altura máxima H de fluido que pode ser armazenado no reservatório é controlada por um contrapeso, de massa m (kg), situado na extremidade B da comporta. A aceleração da gravidade é g   (m/s²). Nestas condições, pede-se:

a) Construir o diagrama de forças hidrostáticas atuantes sobre a superfície AO;

b) Determinar a resultante R do sistema de forças hidrostáticas considerado no item a).

c) Determinar a abscissa x do centro de pressões do sistema de forças hidrostáticas considerado no item a);

d) Desenhar o diagrama de corpo livre da comporta AOB;

e) Determinar o esforço atuante no ponto de apoio A;

f) determinar o valor mínimo da massa do contrapeso necessária para manter o sistema sempre em equilíbrio estático.

Passo 1

Ooi gente, tudo bom com vocês?

a) O primeiro item desse exercício pede pra gente construir o diagrama de forças hidrostáticas na superfície AO.

Sabemos que um fluido exerce uma pressão na superfície AO a qual é sempre perpendicular à superfície e pode ser escrita como:

P = ρ g h

Assim, vemos que a pressão cresce linearmente com a altura (profundidade) do fluido.

Mas, sabendo que F = P ⋅ A , então tomando um pequeno elemento de área d A , onde d A = L ⋅ d h s e n α , temos:

d F = ρ g h ⋅ L d h s e n α

Logo, para cada nível de altura temos uma força que é proporcional a essa altura. É como se tivéssemos um carregamento triangular sobre a barra A O . Já podemos então desenhar o diagrama forças hidrostáticas:

De fato, em A, onde h = H , temos: d F = ρ g H ⋅ d A .

Prontinho 😊

Passo 2

b) Aqui precisamos calcular a resultante R de forças desse carregamento. Sendo bem rigoroso com a teoria, temos que:

R = ∫ d F = ∫ 0 H ρ g L h d h s e n α = ρ g L H 2 2 s e n α  

Outra forma de fazer é calcular o volume do prisma do carregamento triangular.

Passo 3

c) Basicamente, queremos saber a coordenada x c onde a resultante está sendo aplicada.

A resultante deverá ser aplicada na projeção do baricentro da superfície da seção transversal do prisma de pressões do item A. Assim, como o baricentro fica a 2 3 do vértice oposto, temos:

x C = 2 3 H s e n α

Beleza!! Bora pra próxima!

Passo 4

d) Nesse item precisamos determinar o diagrama de corpo livre da comporta AOB, então vamos nos atentar a alguns detalhes. A resultante hidrostática já está atuando perpendicularmente à superf[icie AO.

Além disso, no ponto D temos reação tanto na vertical como na horizontal, já em A a barra está apenas apoiada, logo temos apenas reação na vertical. Por fim, em B temos a força peso de B atuando no bloquinho. Juntando tudo, podemos desenhar:

Passo 5

e) Aqui precisamos determinar o esforço atuante no ponto A. A dica é usarmos o fato de a estrutura estar em equilíbrio estático. Devido a isso, qualquer ponto escolhido também deverá estar em equilíbrio.

Por isso, vamos colocar o nosso polo em O:

∑ M o =   - m g H t g α + N A H t g α + R ⋅ x C = 0

∴ N A = m g - ρ g H 2 L 3 s e n α c o s α

Prontinho 😊

Passo 6

f) Devemos determinar a massa do contrapeso de modo que o sistema esteja sempre em equilíbrio estático. Para que isso ocorra, precisamos manter a haste A O fixa, o que ocorre apenas enquanto N A ≥ 0 . Daí:

N A =   m g - ρ g H 2 L 3 s e n α c o s α ≥ 0  

∴ m - ρ H 2 L 3 s e n α c o s α ≥ 0

⇒ m =   ρ H 2 L 3 s e n α c o s α

Ufaa, terminamos mais uma! Já vamos no embalo fazer a próxima questão. Valeu pessoal, tamo junto! 😉

Resposta

a) Resolução no texto

b) R =   ρ g L H 2 2 s e n α

c) x C = 2 3 H s e n α

d) Resolução no texto

e) N A = m g - ρ g H 2 L 3 s e n α c o s α

f) m =   ρ H 2 L 3 s e n α c o s α

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