Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em duas Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 96,3/1

Determine a força P necessária para manter o motor de 200   k g na posição para a qual θ = 30 ° . O diâmetro em B é desprezível.

Passo 1

Se você reparar bem vai ver que esse é o caso em que as forças são concorrentes em um ponto só, ou seja, a linha de ação das forças passa por um dos ponto do desenho?

Você consegue identificar este ponto? É o ponto C , dê uma olhadinha aqui:

Esse é o nosso diagrama de corpo livre.

Perceba que, por se tratar de uma corda, a força P pode ser representada ao longo de toda esta corda. Então, o que fizemos aqui foi transmitir a força P e representá-la na direção C B .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar um pouquinho de geometria agora: Perceba que esse é um triângulo que possui dois lados iguais. Assim, ele terá também dois ângulos iguais.

Perceba também que um dos três ângulos do triângulo vale 30 ° . Sabendo que a soma dos ângulos dá 180 ° , podemos escrever assim:

30 ° + α + α = 180 °                     α = 150 ° 2

  α = 75 °

Assim:

Passo 3

Então, colocando esses ângulos no nosso diagrama de corpo livre, temos isso aqui:

Agora, temos que decompor todas as forças nos eixos x   e y para podermos fazer as somas dos vetores. Mas repare que temos que descobrir mais alguns ângulos para poder decompor esses vetores:

Repare que somando os ângulos β e γ com 75 ° obtemos 180 ° :

β + 75 ° + γ = 180 °

Mas... Como vamos resolver essa equação se ela tem duas incógnitas? Temos que achar mais um ângulo antes. Para isso, vamos usar este triângulo aqui:

Vamos isolar esse triângulo que queremos para entendermos melhor o que precisamos fazer:

A soma de todos os ângulos internos de um triângulo deve dar 180 ° , então:

75 ° + 90 ° + δ = 180 °                       δ = 180 ° - 165 °

δ = 15 °

Passo 4

Agora já conseguimos achar o ângulo γ :

Repare que os eixos x e y são perpendiculares entre si, então:

15 ° + γ = 90 °

γ = 75 °

Beleza?

Agora vamos resgatar aquela equação que não conseguimos resolver:

β + 75 ° + γ = 180 °                 β + 75 ° + 75 ° = 180 °

β = 30 °

Passo 5

Pronto! Achamos todos os ângulos que eram necessários:

Então, vamos calcular o valor do módulo da força F que é nada mais nada menos que o peso do motor:

F = m g = 200 . 9,81 = 1962   N

Escrevendo esta força como um vetor, temos:

F = - 1962 j ^   N

Agora vamos decompor a força T e a força P nos eixos x e y :

P x = P c o s   75 ° i ^    

P y = P s e n   75 ° j ^

E a força T fica assim:

T x = - T c o s   30 ° i ^    

T y = T s e n   30 ° j ^

Passo 6

Vamos fazer agora o equilíbrio destas forças. Sabemos que a soma de todas as forças horizontais deve ser zero, então:

�� F x = 0                   T x +   P x = 0

- T c o s   30 ° +   P c o s   75 ° = 0                         P c o s   75 ° = T c o s   30 °

Vamos isolar a força T para substituir na próxima equação:

T = P c o s   75 ° c o s   30 °

Beleza?

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

F y = 0                   T y +   P y + F = 0

T s e n   30 ° +   P s e n   75 ° - 1962 = 0                   T s e n   30 ° +   P s e n   75 ° = 1962

Vamos substituir T pela equação que achamos ali em cima:

T s e n   30 ° +   P s e n   75 ° = 1962                   P c o s   75 ° c o s   30 ° s e n   30 ° +   P s e n   75 ° = 1962

Substituindo todos os valores de senos e cossenos, vamos ter que:

0,1494 P + 0,9659 P = 1962

1,1153 P = 1962

P = 1759   N

Resposta

P = 1759   N

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