Exercícios Resolvidos de Espalhamento Compton

PUC, Física 4, P3 2017.1, 2

Após a colisão entre um fóton e um próton (livre e em repouso), o comprimento de onda final do fóton é 3% maior que o inicial. A energia total do próton, após a colisão, é de 950 MeV.

Determine:

a) A energia cinética final do próton.

b) Os comprimentos de onda inicial e final do fóton.

c) Os ângulo de espalhamento do fóton e do próton, em relação à direção original do fóton incidente.

Passo 1

Antes de tudo devemos nos lembrar do conceito de energia total relativística. Sabemos que podemos definir a nossa energia relativística com base em apenas dois conceitos ou com base na sua fórmula geral, vamos analisar cada um.

Primeiro vamos entender com escrever a nossa energia relativística com base em outros dois conceitos

A nossa primeira fórmula é

E p = E p 0 + K p

Em que

E p = E n e r g i a   R e l a t i v i s t i c a  

E p 0 = E n e r g i a   d e   R e p o u s o = m 0 . c 2  

K p = E n e r g i a   c i n e t i c a  

Ou seja, a nossa energia de repouso total se baseia na energia inicial de repouso e da energia cinética adquirida pela partícula.

Então para definirmos a energia cinética final teremos que isolar as energias da seguinte maneira

K p = E p - E p 0

Sabemos que

E p = 950   M e V

E como esse cálculo é para a partícula de próton, temos que no formulário o valor da energia inicial do próton é dada por

E p 0 = 0,938   G e V = 938 M e V

Substituindo na nossa fórmula teremos que

K p = 950 - 938

K p = 12   M e V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nessa segunda parte precisamos fazer um balanço energético do estado antes e depois da colisão entre o fóton e a partícula, aqui é importante lembrar os conceitos de energia relativística, do fóton e conservação de energia.

Vamos dividir isso em duas situações

inicial = próton em repouso(energia relativística de repouso) + fóton(energia inicial do fóton)

final = próton em movimento(energia relativística do próton) + fóton(energia final do fóton)

em função das fórmulas podemos escrever

inicial = E p 0 +   E f 0

final = E p + E f f  

como deve haver conservação de energia fazemos o seguinte

  E f 0 - E f f = E p - E p 0

Mas se você olhar o item anterior irá ver que já calculamos a parte E p - E p 0 que é exatamente o valor de K, ou seja, da energia cinética adquirida pelo próton. Logo vemos como a fórmula faz sentido físico, ou seja, a energia perdida pelo fóton ( E f 0 - E f f ) é igual a energia ganha pelo próton (K).

Passo 3

Agora precisamos apenas lembrar qual a fórmula que indica o valor da energia de um fóton, que é exatamente

E = h . f

E = h . c λ

Como se trata de uma variação da energia do fóton temos que

K = h . c λ 0 - h . c λ f

K = h . c . 1 λ 0 -   1 λ f

K = h . c . λ f - λ 0 λ f . λ 0

E no enunciado foi deixado claro que o comprimento de onda final do próton é maior que o comprimento inicial em um valor de 3%, ou seja,

λ f = λ 0 + λ 0 . 0,03

λ f = 1,03 λ 0

Substituindo na nossa equação teremos que

K h . c = 1,03 λ 0 - λ 0 1,03 λ 0 . λ 0

K h . c = 0 , 03 λ 0 1,03 λ 0 2

K h . c = 0,03 1,03 λ 0

Isolando o valor de λ 0

λ 0 = 0,03 . h . c 1,03 . K

Substituindo os valores teremos

h . c = 1240   e V . n m

K = 12   M e V = 12.10 6 e V

Substituindo

λ 0 = 0,03.1240   e V . n m 1,03 . 12.10 6 e V = 3,00.10 - 6 n m = 3,00.10 - 15 m

λ f = 1,03 . 3,00.10 - 15 = 3,09.10 - 15 m

Passo 4

No ultimo item nos é pedido o valor do ângulo de espalhamento, antes de qualquer coisa vamos relembrar a fórmula de Compton para o espalhamento de um fóton, a fórmula é a seguinte

λ f - λ 0 = λ c o m p t o n . ( 1 - c o s θ )

em que cada termo dessa fórmula representa

λ ’ = c o m p r i m e n t o   d e   o n d a   d o   f ó t o n   a p o s   o   e s p a l h a m e n t o  

λ 0 = c o m p r i m e n t o   d e   o n d a   d o   f ó t o n   a n t e s   d o   e s p a l h a m e n t o  

θ = â n g u l o   e m   q u e   o c o r r e u   o   e s p a l h a m e n t o  

E por fim

λ c o m p t o n = c o m p r i m e n t o   d e   o n d a   d e   c o m p t o n ,   d a d o   p e l a   f ó r m u l a  

λ c o m p t o n = h m 0 . c

E podemos ver que já possuímos todos esses dados, faltando apenas o ângulo, que é exatamente o objetivo da questão, então vamos lá.

Passo 5

λ 0 = 3,00.10 - 15 m

λ f = 3,09.10 - 15 m

λ c o m p t o n = h m p . c

c o s θ = 1 - λ f - λ 0 h m p . c

c o s θ = 1 - ( λ f - λ 0 ) m p . c h

Multiplicando pela velocidade em cima e em baixo teremos

c o s θ = 1 - ( λ f - λ 0 ) m p . c 2 h . c

Pegando os valores calculados teremos

λ f - λ 0 = 3,09.10 - 15 - 3,00.10 - 15 = 0,09.10 - 15 = 0,09.10 - 6 n m

Pelo formulário teremos que

h . c = 1240   e V . n m

m p . c 2 = 938.10 6 e V

Substituindo temos

c o s θ = 1 - 0,09.10 - 6 . 938.10 6 1240

c o s θ = 0,932

θ = 21,3 °

Que é o ângulo de espalhamento do próton,

para definirmos o ângulo de espalhamento do fóton podemos fazer o cálculo da seguinte maneira

t g φ = S e n θ λ f λ 0 - C o s θ

Substituindo temos que

t g φ = S e n 21,3 3,09.10 - 15 3,00 . 10 - 15 - C o s 21,3 = 3,695

φ = 74,8 °

Resposta

a) K p = 12   M e V

b) λ 0 = 3,00.10 - 15 m

λ f = 3,09.10 - 15 m

c) θ = 21,3 °

φ = 74,8 °

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