Exercícios Resolvidos de Espalhamento Compton

Origens da Teoria Quântica

Os raios gama produzidos por aniquilações e por núcleos radioativos também apresentam um espalhamento Compton considerável.

Suponha que um fóton de energia igual a 0,511   M e V , produzido pela aniquilação de um elétron e um pósiton sofra espalhamento por elétron livre e que o ângulo de espalhamento seja 110 ° . Calcule:

a ) O comprimento de onda do fóton incidente.

b ) A energia do fóton espalhado.

c ) A energia do elétron após o espalhamento.

Passo 1

a ) O comprimento de onda do fóton incidente.

A energia de um fóton é dada por:

E = h f

Sabendo que o fóton se desloca na velocidade da luz, podemos reescrever a frequência como:

f = c λ

Logo, o comprimento de onda do fóton incidente será:

E 1 = h c λ 1 → λ 1 = h c E 1

Onde:

h = 4,14 × 10 - 15   e V . s

c = 3 × 10 8   m / s

E 1 = 0,511   M e V = 5,11 × 10 5   e V

Substituindo os valores, teremos:

λ 1 = 4,14 × 10 - 15 × 3 × 10 8 5,11 × 10 5

λ 1 = 2,43 × 10 - 12   m

λ 1 = 2,43   p m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) A energia do fóton espalhado.

Novamente, a energia do fóton espalhado pode ser escrita como:

E 2 = h c λ 2

Pra descobrir o comprimento de onda do fóton espalhado, temos apenas que usar a equação do espalhamento Compton, dada por:

λ 2 - λ 1 = λ c 1 - cos ⁡ θ

Onde:

λ 1 = 2,43   p m → λ 1 = 2,43 × 10 - 12   m

λ c = 2,43   p m → λ c = 2,43 × 10 - 12   m

θ = 110 ° → cos ⁡ θ = - 0,34

Substituindo os valores:

λ 2 - 2,43 × 10 - 12 = 2,43 × 10 - 12 1 + 0,34

λ 2 - 2,43 × 10 - 12 = 2,43 × 10 - 12 × 1,34

λ 2 - 2,43 × 10 - 12 = 3,25 × 10 - 12

λ 2 = 3,25 × 10 - 12 + 2,43 × 10 - 12

λ 2 = 5,68 × 10 - 12   m

Passo 3

Finalmente, a energia do fóton espalhado será dada por:

E 2 = h c λ 2

Onde:

h = 4,14 × 10 - 15   e V . s

c = 3 × 10 8   m / s

λ 2 = 5,68 × 10 - 12   m

Substituindo os valores, teremos:

E 2 = 4,14 × 10 - 15 × 3 × 10 8 5,68 × 10 - 12

E 2 = 2,18 × 10 5   e V

Passo 4

c ) A energia do elétron após o espalhamento.

A partir da conservação de energia do sistema, sabemos que a energia do sistema deve ser a mesma antes e após o espalhamento. A energia do sistema será:

E s i s t = E 1 + E 0 = E 2 + E e

Onde E 0 = m c 2 é a energia do elétron em repouso.

O problema nos deu o valor de E 1 , e nós já calculamos E 2 .

Sabendo que m = 9,1 × 10 - 31   k g e c = 3 × 10 8 m / s . A energia do elétron em repouso será dada por:

E 0 = m c 2

E 0 = 9,1 × 10 - 31 × 3 × 10 8 2

E 0 = 8,19 × 10 - 14   J

Importante: As energias E 1 e E 2 são dadas em e V , então precisamos passar a energia E 0 para a mesma unidade de medida.

E 0 = 8,19 × 10 - 14   J = 8,19 × 10 - 14 1,6 × 10 - 19 e V

E 0 = 5,12 × 10 5 e V

Passo 5

Agora podemos calcular a energia do elétron após o espalhamento.

E 1 + E 0 = E 2 + E e

E e = E 1 + E 0 - E 2

Substituindo os valores, teremos:

E e = 5,11 × 10 5 + 5,12 × 10 5 - 2,18 × 10 5

E e = 8,05 × 10 5   e V

Resposta

a )

λ 1 = 2,43   p m

b )

E 2 = 2,18 × 10 5   e V

c )

E e = 8,05 × 10 5   e V

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