Exercícios Resolvidos de Espalhamento Compton

É realizado um experimento onde fótons são espalhados por elétrons livres inicialmente em repouso. Verifica-se que: (1) os fótons emergem em θ = 90 ° relativamente à direção de incidência; (2) os elétrons espalhados são completamente freados por uma diferença de potencial V.

(a) Escreva as expressões para as conservações de energia e de momento linear para o processo. Denomine: λ ' o comprimento de onda do fóton espalhado; λ o comprimento de onda do fóton incidente, θ o ângulo entre o elétron espalhado e a direção de incidência do fóton; p e → o vetor momento linear do elétron espalhado e K e a energia cinética do elétron espalhado.

(b) Qual o comprimento de onda λ dos fótons incidentes? Forneça a sua resposta em função da diferença de potencial V e do comprimento de onda Compton λ c .

(c) Qual o comprimento de onda λ e dos elétrons espalhados? Forneça sua resposta em função do comprimento de onda λ dos fótons incidentes e do comprimento de onda Compton λ c .

Passo 1

(a) Vamos esquematizar o que está acontecendo já colocando as incógnitas como foi pedido no item (a):

Vamos começar fazendo a conservação da energia.

Antes da colisão, como o elétron está parado, temos somente a energia do fóton, dada por:

E = h c λ

Depois da colisão, temos a energia do fóton espalhado e a energia cinética do elétron:

E ' = h c λ ' + K e

Igualando a energia antes e depois:

h c λ = h c λ ' + K e

Para fazer a conservação do vetor momento linear, vamos fazer a conservação da sua componente x e da sua componente y.

Começando pela componente x, antes da colisão temos momento linear somente devido ao próton incidente, já que o elétron se encontra parado.

Esse momento pode ser escrito então como:

p x = h λ

Depois da colisão, na direção x, temos momento linear somente devido ao elétron:

p x ' = p e c o s ϕ

Igualando:

h λ = p e c o s ϕ

Agora para a direção y, antes da colisão não temos momento linear nessa direção:

p y = 0

Depois da colisão, temos momento em y devido ao elétron e ao fóton espalhado:

p y ' = p e s e n ϕ - h λ '

Igualando:

0 = p e s e n ϕ - h λ '

p e s e n ϕ = h λ '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Como o enunciado diz que a diferença de potencial freia o elétron, podemos escrever:

K e = e V

Substituindo na equação da conservação de energia:

h c λ = h c λ ' + e V

h c λ - e V = h c λ '

Dividindo os dois lados por hc:

1 λ - e V h c = 1 λ '

h c - λ e V λ h c = 1 λ '

λ ' = λ h c h c - λ e V

Pela equação do efeito Compton:

λ ' = λ + λ c ( 1 - c o s θ )

Como θ = 90 ° :

λ ' = λ + λ c

Queremos a resposta em função apenas de V e λ c , então vamos substituir λ ' pelo que achamos antes:

λ h c h c - λ e V = λ + λ c

λ h c = λ h c - λ 2 e V + λ c h c - λ λ c e V

λ 2 e V - λ c h c + λ λ c e V = 0

Dividindo por eV:

λ 2 + λ c λ - λ c h c e V = 0

Que é uma equação do segundo grau em λ .

A única resposta possível ( λ deve ser positivo) vai ser:

λ = - λ c 2 + 1 2 λ c 2 + 4 λ c h c e V

Passo 3

(c) Para calcular o comprimento de onda do elétron espalhado, vamos usar o comprimento de onda de de Broglie:

λ e = h p e ⇒ p e = h λ e

Pela conservação do momento em x:

h λ = p e c o s ϕ ⇒ h λ = h λ e c o s ϕ

c o s ϕ = λ e / λ

Pela conservação do momento em y:

p e s e n ϕ = h λ ' ⇒ h λ e s e n ϕ = h λ '

s e n ϕ = λ e λ '

Usando que:

s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1

E substituindo os valores de s e n ϕ e c o s ϕ encontrados nessa equação, vamos ter:

λ e λ ' 2 + λ e λ 2 = 1

λ e 2 1 λ ' 2 + 1 λ 2 = 1

λ e 2 λ 2 + λ ' 2 λ ' 2 λ 2 = 1

λ e 2 = λ ' 2 λ 2 λ 2 + λ ' 2

λ e = λ ' λ λ 2 + λ ' 2

Substituindo:

λ ' = λ + λ c

Vamos ter:

λ e = λ + λ c λ λ 2 + λ + λ c 2

Colocando λ pra fora no denominador e simplificando:

λ e = λ + λ c λ λ 1 + λ + λ c 2 / λ 2

λ e = λ + λ c 1 + λ + λ c 2 / λ 2

Resposta

(a) Conservação de energia: h c λ = h c λ ' + K e

Conservação do momento linear em x: h λ = p e c o s ϕ

Conservação do momento linear em y: p e s e n ϕ = h λ '

(b) λ = - λ c 2 + 1 2 λ c 2 + 4 λ c h c e V

(c) λ e = λ + λ c 1 + λ + λ c 2 / λ 2

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