Exercícios Resolvidos de Espalhamento Compton

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Enunciado

Numa experiência de espalhamento de raios X por um alvo de grafite (efeito Compton) verifica-se que a intensidade I λ dos raios X espalhados num ângulo θ , medido a partir da direção de incidência, em função do comprimento de onda λ é dada pela curva abaixo, onde λ 1 = 1,000 × 10 - 10   m e λ 2 = 1,012 × 10 - 10   m .

  1. Qual é o comprimento de onda dos raios X incidentes? Justifique.
  2. Calcule o ângulo de espalhamento θ .
  3. Deduza a fórmula para a energia cinética do elétron no espalhamento em função de h , c , λ 1 e λ 2 ?
  4. Qual seria a equação para Δ λ = λ 1 - λ 2 se os raios X fossem espalhados por prótons em repouso ao invés de elétrons?

Passo 1

Letra a)

No espalhamento Compton, o comprimento de onda da luz após colidir com o elétron aumenta. Assim, entre os dois picos, o comprimento de onda dos raios X incidentes vai ser o menor dentre ambos.

λ = 1,000 ∙ 10 - 10   m

Passo 2

Letra b)

A variação do comprimento de onda é dada por:

Δ λ = λ 2 - λ 1 = h m c   1 - cos ⁡ θ

Rearrumando:

cos ⁡ θ = 1 - m c h ∙ Δ λ

Do enunciado

  • O feixe de raio X incide em elétrons, sendo o comprimenta de onda Compton λ c = h m c = 2,426 ∙ 10 - 12 m
  • A diferença entre os comprimentos de onda é Δ λ = λ 2 - λ 1 = 0,012 ∙ 10 - 10   m

cos ⁡ θ = 1 - 0,012 ∙ 10 - 10 2,426 ∙ 10 - 12 ≅ 1 - 0,5 = 0,5

Logo, temos θ = 60 ° .

Passo 3

Letra c)

Da conservação da energia, temos:

E i ,   f ó t o n + E i ,   e l é t r o n = E f ,   f ó t o n + E f ,   e l é t r o n

A variação da energia do elétron se deve apenas pelo seu ganho de energia cinética (pois antes o consideramos como em repouso).

E f ,   e l é t r o n - E i ,   e l é t r o n = K e l é t r o n

Na equação da conservação da energia ficamos com

K e l é t r o n = - ( E f ,   f ó t o n - E i ,   f ó t o n )

A energia de um fóton é:

E f ó t o n = h f = h c λ

Ou seja:

K e l é t r o n = - h c 1 λ 2 - 1 λ 1 = - h c λ 1 - λ 2 λ 2 λ 1 = h c λ 2 - λ 1 λ 2 λ 1

Passo 4

Letra d)

Se os fótons do raio X fossem espalhados por prótons, teríamos:

Δ λ = λ 2 - λ 1 = h m p c   1 - cos ⁡ θ

Onde m p é a massa do próton e definimos λ C ' = h / m p c é o comprimento de onda Compton do próton.

Resposta

Letra a)

λ = 1,000 ∙ 10 - 10   m

Letra b)

θ = 60 °

Letra c)

K e l é t r o n = h c λ 2 - λ 1 λ 2 λ 1

Letra d)

Δ λ = λ 2 - λ 1 = h m p c   1 - cos ⁡ θ

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