Exercícios Resolvidos de Espalhamento Compton

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Enunciado

Um feixe de raios X com um comprimento de onda de 0,0100   n m , no sentido positivo do e i x o   x , incide em um alvo que contém elétrons quase livres.

Para o espalhamento de Compton a 180 ° de um fóton por um desses elétrons, determine:

  1. O deslocamento de Compton.
  2. A variação da energia do fóton.
  3. A energia cinética do elétron após o espalhamento.
  4. O ângulo entre o semi-eixo x positivo e a direção de movimento do elétron após o espalhamento.

Passo 1

Letra a)

O deslocamento de Compton é dado por:

Δ λ = h m c 1 - cos ⁡ ϕ

Para ϕ = 180 ° , temos cos ⁡ ϕ = - 1

Δ λ = h m c 1 - - 1 = 2 h m c

No caso do elétron:

h m e c ≅ 2,426 ∙ 10 - 12   m = 2,426   p m

E assim:

Δ λ = 2 ∙ 2,426 = 4,852   p m = 0,004852   n m

Passo 2

Letra b)

A energia inicial do fóton era de:

E = h c λ

Onde:

  • h ≅ 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s
  • c ≅ 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • λ = 0,0100   n m = 10 - 11   m (pelo enunciado)

E = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 10 - 11 ≅ 19,865 ∙ 10 - 15   J

O comprimento de onda do fóton após a interação vai ser:

λ ' = λ + Δ λ = 0,0100 + 0,004852 = 0,014852   n m = 1,4852 ∙ 10 - 11   m

E assim sua energia será:

E = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 1,4852 ∙ 10 - 11 ≅ 13,375 ∙ 10 - 15   J

A variação de energia fica:

Δ E = 13,375 ∙ 10 - 15 - 19,865 ∙ 10 - 15 = - 6,49 ∙ 10 - 15   J

Onde o sinal negativo indica que a energia foi perdida.

Passando para e V , ficamos com:

Δ E = - 6,49 ∙ 10 - 15 1,602 ∙ 10 - 19 = - 4,05 ∙ 10 4   e V = - 40,5   K e V

Passo 3

Letra c)

Toda a energia perdida pelo fóton é absorvida pelo elétron na forma de energia cinética. Por isso a energia cinética do elétron será igual ao módulo da variação de energia do fóton.

K e = 6,49 ∙ 10 - 15 J = 40,5   K e V

Passo 4

Letra d)

Quando o fóton se aproxima do elétron, o elétron está parado e, por isso, não tem momento linear. Já o fóton tem um momento linear com componente apenas na direção do semi-eixo x positivo.

Como o espalhamento do fóton é de 180 ° , o seu momento linear final tem componente apenas na direção do semi-eixo x negativo.

Por isso, o elétron adquire um momento linear apenas com componente no semi-eixo x positivo.

Isso significa que o ângulo θ entre o movimento do elétron e o semi-eixo x positivo é igual a zero.

θ = 0

Resposta

Letra a)

Δ λ = 4,852   p m = 0,004852   n m

Letra b)

Δ E = - 6,49 ∙ 10 - 15   J = - 40,5   K e V

Letra c)

K e = 6,49 ∙ 10 - 15 J = 40,5   K e V

Letra d)

θ = 0

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