Exercícios Resolvidos de Espalhamento Compton

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Enunciado

Um feixe de raios gama com fótons de energia 0,850   M e V incide sobre um alvo, sendo espalhado em várias direções por elétrons quase livres do alvo, no Efeito Compton.

a ) Calcule o comprimento de onda dos raios gama incidentes.

b ) Determine o comprimento de onda dos raios gama espalhados a 60 ° em relação à direção do feixe incidente.

c ) Obtenha a energia dos elétrons espalhados quando os fótons são espalhados a 90 ° .

Passo 1

a )

Para determinar o comprimento de onda, precisamos lembrar da equação para a energia dos fótons, que é dada por:

E f ó t o n = h . f

sabendo que c = λ . f , podemos substituir a frequência e assim determinar o comprimento de ona:

E f ó t o n = h . c λ

Substituindo o valor da energia, assim como o valor da constante h . c = 1240   e V . n m , temos:

Ah...como os valores não estão na mesma unidade, vamos passar todos para e V , desse modo, temos que multiplicar a energia por 10 6 !

0,850 × 10 6 = 1240 λ

λ = 1240     0,850 × 10 6

λ i = 1,46 × 10 - 3   n m

Passo 2

b )

Para os raios espalhados por Efeito Compton, temos a seguinte relação:

Δ λ = h m e . c   . 1 - cos ⁡ θ

Sabendo que esse Δ λ é a variação do comprimento de onda entre os raios incidentes e os raios espalhados, temos:

λ e - λ i = h m e . c . ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 3

Antes de substituir os valores, vamos destacar os valores que temos para não errarmos as unidades:

λ i = 1,46 × 10 - 3

m e . c 2 = 0,511   M e V

h . c = 1240   e V .   n m

Você deve estar pensando que não faz o menor sentido escrever essas constantes assim, principalmente as duas últimas, mas na verdade é assim que está normalmente na capa da prova. Então se acostume a ver coisas assim, onde será necessário usar um pouco de álgebra.

Substituindo os valores que já temos, assim como o valor das constantes, atentando para as unidades, temos:

λ e - 1,46 × 10 - 3 = 1240 0,511 × 10 6 . 1 - cos ⁡ 60 °

Lembrando que passamos M e V para e V !

λ e - 1,46 × 10 - 3 = 1,21 × 10 - 3

λ e = 2,67 × 10 - 3   n m

Passo 4

c )

Para determinar a energia dos elétrons após o espalhamente, sendo que os fótons são espalhados a 90 ° , podemos recorrer a conservação da energia na colisão:

E a n t e s = E d e p o i s

h . f i + m e . c 2 = h . f e + E e

Antes da colisão, temos a energia do feixe de fótons incidente e a energia de repouso do elétron, depois da colisão, temos a energia do feixe de fotos espalhados, assim como a energia total do feixe de elétrons.

Passo 5

Substituindo a frequência f por c / λ , temos:

h . c λ i + m e . c 2 = h . c λ e + E e

Isolando a energia do feixe de elétrons, temos:

E e = m e . c 2 + h . c . 1 λ i - 1 λ e

Passo 6

Precisamos determinar λ e para um ângulo de 90 ° . Fazendo o mesmo procedimento do item anterior:

Δ λ = h m e . c   . 1 - cos ⁡ θ

Para os parâmetros e constantes que usamos antes, temos:

λ e - 1,46 × 10 - 3 = 1240 0,511 × 10 6 . 1 - cos ⁡ 90 °

λ e = 2,43 × 10 - 3 + 1,46 × 10 - 3

λ e = 3,89 × 10 - 3   n m

Passo 7

Agora que calculamos o valor de λ e podemos voltar à equação para a energia do feixe de elétrons:

E e = m e . c 2 + h . c . 1 λ i - 1 λ e

Substituindo os valores que temos, prestando atenção às unidades, temos:

E e = 0,511 × 10 6 + 1240 . 1 1,46 × 10 - 3 - 1 3,89 × 10 - 3

E e = 0,511 × 10 6 + 0,530 × 10 6

E e = 1,04 × 10 6   e V = 1,04   M e V

Resposta

a ) λ i = 1,46 × 10 - 3   n m

b ) λ e = 2,67 × 10 - 3   n m

c ) E e = 1,04 × 10 6   e V = 1,04   M e V

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