Exercícios Resolvidos de Espalhamento Compton

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Enunciado

Um fóton de comprimento de onda λ = h / 2 m 0 c , onde m 0 é a massa de repouso do elétron, é espalhado por um elétron em repouso. O fóton espalhado tem comprimento de onda λ ' e sua direção de propagação faz um ângulo θ com a direção de incidência. A energia cinética K do elétron após a colisão é igual a m 0 c 2 , conforme a figura.

Nos itens abaixo forneça suas respostas em termos de h , c e m 0 apenas.

  1. Calcule o comprimento de onda λ ' do fóton espalhado.
  2. Calcule o ângulo de espalhamento θ do fóton.
  3. Calcule o módulo da velocidade v do elétron espalhado.

Passo 1

Letra a)

Este é um problema de espalhamento Compton. Porém, como não sabemos o ângulo θ que o fóton faz com a direção original, não temos como usar a equação do espalhamento Compton!

Por isso, vamos seguir em outra direção.

A variação da energia do fóton é igual à energia cinética ganha pelo elétron.

K = E γ - E γ '

K = m 0 c 2

E γ = h c λ

E γ ' = h c λ '

Temos então:

m 0 c 2 = h c ⋅ 1 λ - 1 λ '

1 λ ' = 1 λ - m 0 c h

Porém, o enunciado nos diz que λ = h / 2 m 0 c .

1 λ ' = 2 m 0 c h - m 0 c h = m 0 c h

λ ' = h m 0 c

Passo 2

Letra b)

Agora sim, a equação do espalhamento compton relaciona a diferença no comprimento de onda com o ângulo θ .

Δ λ = λ ' - λ = h m 0 c 1 - cos ⁡ θ

Os dois comprimentos de onda nós temos.

Δ λ = h m 0 c - h 2 m 0 c = h 2 m 0 c

Assim, temos:

h 2 m 0 c = h m 0 c 1 - cos ⁡ θ

1 - cos ⁡ θ = 1 2

cos ⁡ θ = 1 2

θ = 60 °

Passo 3

Letra c)

Relativisticamente, a energia cinética é dada por:

K = γ - 1 m 0 c 2

Igualando à expressão dada no enunciado.

γ - 1 m 0 c 2 = m 0 c 2

γ - 1 = 1

γ = 2

Esse γ é definido como:

γ = 1 1 - v 2 c 2

Assim, temos:

1 1 - v 2 c 2 = 2

1 4 = 1 - v 2 c 2

v 2 c 2 = 3 4

v = 3 2 c

Resposta

Letra a

λ ' = h m 0 c

Letra b

θ = 60 °

Letra c

v = 3 2 c

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