Exercícios Resolvidos de Função de uma Variável Aleatória Discreta

PUCRIO, Probabilidade e Estatísitica, P1 - 2017.2, Questão 1b

b) Seja Y uma variável aleatória tal que E Y = 2 e V a r Y = 7 . Calcule E ( 2 Y 2 - 3 Y - 2 ) e V a r 2 Y + 10 , aplicando as propriedades do valor esperado e da variância de funções lineares. Mostre todos os passos para se chegar ao resultado final.

Passo 1

Letra b)

Esse enunciado já deu a dica pra gente, falou que vamos ter que usar as propriedades da esperança e da variância. Quem são elas mesmo?

E a X + b = a E x + b

E a = a

V a r a X + b = a ² V a r ( X )

V a r a = 0

Onde a e b são constantes, e X a variável que estivermos trabalhando.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular E ( 2 Y 2 - 3 Y - 2 ) . Podemos fazer uma espécie de distributiva com essa esperança:

E 2 Y 2 - 3 Y - 2 = E 2 Y 2 - E 3 Y - E 2

Aplicando as propriedades que listamos no passo anterior:

E 2 Y 2 - E 3 Y - E 2 = 2 E Y 2 - 3 E Y - 2

Beleza, conhecemos E ( Y ) por que foi dado no enunciado. Mas como lidar com esse E Y 2 aí? Lembrando da fórmula da variância! Se liga:

V a r Y = E Y 2 - [ E ( Y ) ] ²

Substituindo os valores de V a r Y e E ( Y ) dados:

7 = E Y 2 + 2 2

E Y 2 = 3

Retomando o cálculo da esperança que foi pedida:

E 2 Y 2 - 3 Y - 2 = 2 E Y 2 - 3 E Y - 2

E 2 Y 2 - 3 Y - 2 = 2.3 - 3.2 - 2

E 2 Y 2 - 3 Y - 2 = - 2

Passo 3

Agora vamos calcular a variância pedida, V a r 2 Y + 10 . Fazendo a distributiva que nem fizemos para a esperança:

V a r 2 Y + 10 = V a r 2 Y + V a r ( 10 )

Aplicando as propriedades:

V a r 2 Y + V a r 10 = 2 2 V a r Y + 0

Substituindo o valor de V a r ( Y ) , dado no enunciado:

V a r 2 Y + 10 = 2 2 V a r Y + 0

V a r 2 Y + 10 = 2 2 . 7

V a r 2 Y + 10 = 28

Resposta

Letra b)

E 2 Y 2 - 3 Y - 2 = - 2

V a r 2 Y + 10 = 28

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