Exercícios Resolvidos de Função de uma Variável Aleatória Discreta

PUCRIO, Probabilidade e Estatísitica, P3 - 2017.1, Questão 5

Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s independentes com distribuição Normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacotes de café: média μ 1 = 1000 g e desvio-padrão σ 1 = 15 g .

Pacotes de tapioca: média μ 2 = 450 g e desvio-padrão σ 1 = 8 g .

Pacotes de feijão: média μ 3 = 600 g e desvio-padrão σ 1 = 12 g .

Suponha que o peso da mala vazia é 1,5 kg e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0 kg de roupas.

Pede-se:

  1. Determinando o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos, qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20 kg permitidos para o embarque.
  2. No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de 21   k g e desvio-padrão de 4   k g . A Aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre 22 e 19,5   k g .

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

- Para utilizar a tabela da normal, ajustar para 2 casas decimais.

Passo 1

a)

Vamo dar surra de v.a. agora:

C : p e s o   d e   u m   p a c o t e   c a f é

F : p e s o   d e   u m   p a c o t e   f e i j ã o

T a : p e s o   d e   u m   p a c o t e   d e   t a p i o c a

T : p e s o   t o t a l   d a   b a g a g e m

E podemos afirmar que:

T = 10 C + 7 F + 5 T a + 1,5 + 2,0

Esse 1,5 e esse 2,0 são os pesos da mala vazia e das roupas, que são exatos! Então não precisam ser representados por v.a.s.

Para calcular a esperança do peso total (peso total esperado), vamos “aplicar” esperança nesse expressão toda:

E ( T ) = 10 E ( C ) + 7 E ( F ) + 5 E ( T a ) + 1,5 + 2,0

Lembrando que pela propriedade, a esperança joga a constante que tá multiplicando a v.a. para fora, e que a esperança de uma constante é a própria constante. Substituindo os valores dessas esperanças ( e m   k i l o s ) dadas no enunciado:

E T = 10 × 1 + 7 × 0,600 + 5 × 0,450 + 1,5 + 2,0 = 19,95 k g

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mesmo raciocínio pra variância, vamos “aplicar” variância na nossa expressão dos pesos:

V a r ( T ) = 10 ² V a r ( C ) + 7 ² V a r ( F ) + 5 ² V a r ( T a )

Lembrando que pela propriedade, a variância joga a constante que tá multiplicando a v.a. para fora ao quadrado, e que a variância de uma constante é zero (por isso nossos termos 1,5 e 2,0 sumiram!). Substituindo os valores do desvio-padrão dados no enunciado aí dentro (ou seja, elevando eles ao quadrado, e m   k i l o s ):

V a r T = 10 2 × 0,015 2 + 7 2 × 0,012 2 + 5 2 × 0,008 2 = 0,0312 k g ²

Passo 3

b)

Amostra a partir de uma população Normal!

Agora estamos queremos analisar a esperança de uma amostra de bagagens, então nosso T passa a ser um T - amostral. Com isso teremos uma distribuição Normal pra uma média amostral, onde mantemos a esperança da população de origem e dividimos a variância pelo número de elementos da amostra:

T -   ~   N o r m a l 21 ; 4 ² 25

Passo 4

A probabilidade que queremos é:

P ( 19,5 < T < 22 )

Padronizando:

P 19,5 - 21 4 ² 25 < Z < 22 - 21 4 ² 25 = P ( - 1,87 < Z < 1 , 2 5 )

Usando as propriedades da Normal:

P - 1,87 < Z < 1,25 = P Z < 1,2 5 - P Z < - 1,87

= P Z < 1,25 - P Z > 1,87

= P Z < 1 , 2 5 - ( 1 - P Z < 1 , 8 7 )

= ϕ 1,2 5 - 1 - ϕ 1,87

= 0 , 8944 - ( 1 - 0,9693 )

= 0,8637

Resposta

Letra a)

19,95 k g

0,0312 k g ²

Letra b)

0,8637

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