Exercícios Resolvidos de Indução, Energia e Potência

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Enunciado

3 - Uma barra vertical de comprimento L e resistência R desliza com velocidade   v → constante sobre dois trilhos paralelos de resistência desprezível, conforme ilustrado na figura abaixo. As extremidades do lado direito de cada trilho estão conectadas por meio de um condutor vertical de resistência desprezível, formando assim um circuito fechado. Todo o conjunto é submetido a um campo magnético uniforme B → , que aponta para fora da página.

(a) Calcule a força eletromotriz induzida no circuito.

(b) Calcule o valor da corrente induzida no circuito e determine o seu sentido (horário ou anti-horário). Justifique sua resposta.

(c) Qual a potência dissipada na barra vertical de resistência R .

(d) Calcule o módulo da força externa exercida na barra para manter sua velocidade constante.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos uma barra deslizante de comprimento L , resistência R a uma velocidade v → . Essa barra desliza a partir de duas hastes condutoras de resistência nula e em uma extremidade as hastes são conectadas por um condutor também de resistência nula.

Dessa forma, formamos um circuito fechado que é atravessado por um campo magnético B → homogêneo e constante.

Compreendeu a situação? 🤔

A partir daí, temos que obter algumas respostas como por exemplo no item a) queremos saber: qual é a força eletromotriz induzida no circuito?

No item b) queremos saber qual é a corrente que flui no circuito e em qual sentido ela gira?

No item c) vamos encontrar a potência dissipada pela barra de resistência R .

E por último, no item d) vamos calcular o modulo da força que mantem a velocidade da barra constante.

Entendeu? Bora começar! 😉

Passo 2

Começando pelo item a), como vamos obter a força eletromotriz induzida no circuito?

Pela lei de Faraday, a força eletromotriz induzida é igual a (menos) a variação do fluxo magnético sobre a variação do tempo, ou seja

ε = - d ϕ B d t

Mas o que é ϕ B ?

Sabemos que a variação do fluxo é igual ao campo magnético multiplicado pela variação da área que flui o campo

d ϕ B = B d A

Como nossa barra está em movimento, a área interna do circuito aumenta com o tempo.

Em um instante, a área A é dada por

Ou seja, como a área do quadrado é base · altura...

d ϕ B = B d L x

Perceba que L é constante e x varia com o tempo, então podemos reescrever d ϕ B como

d ϕ B = B L d x

Substituindo d ϕ B em ε , temos

ε = - B L d x d t

ε = - B L d x d t

Essa fração é familiar para você? 👀

A derivada da posição não resulta na velocidade?

Mas como v → aponta para a esquerda e estamos considerando x positivo para a direita, temos

ε = - B L - v →

ε = B L v →

Logo, a força eletromotriz induzida no circuito é dada pelo produto do campo magnético, a distancia L e a velocidade v → .

Bacana, não é? 😁

Passo 3

No item b) vamos calcular a corrente i que flui no circuito.

Pela lei de Ohm, a tensão é igual a resistência · a corrente, lembra disso?

Ou seja, como temos apenas uma resistência R no circuito

ε = R · i

Isolando i

i = ε R

Mas não acabamos de encontrar que ε = B L v → ?

Então substituindo ε em i vamos obter

i = B L v → R

Dessa forma, podemos encontrar a corrente i que flui pelo circuito! Mas em qual sentido ela flui?? 🤔

Pela lei de Lenz, aplicando a regra da mão direita com a palma voltada para dentro do circuito, como o campo B aponta para fora da tela, podemos afirmar que a corrente i flui no sentido horário!

Tranquilo até aqui? 👍

Passo 4

No item c) vamos calcular a potência dissipada pela haste de resistência R .

A potência dissipada por um resistor em um circuito você lembra como é?

P = V · i

No caso, V é a força eletromotriz ε .

Como no circuito temos apenas nossa haste R que está sob ação de uma força eletromotriz ε e uma corrente i , portanto.

P = ε · i

Substituindo ε e i , que acabamos de calcular, em P , vamos obter.

ε = B L v → i = B L v → R → P = ε · i

P = B L v → · B L v → R

Resultando em...

P = B L v → 2 R

Interessante, né? 😎

Passo 5

Por fim, no item d) vamos calcular a força externa que age na barra R que faz sua velocidade ser constante.

Como não há atrito da barra com as hastes, se a velocidade é constante, a força resultante que age sobre a barra é 0 .

Mas se F → B = i l → × B → , onde l → é o vetor distancia L que segue o sentido da corrente do circuito, temos que F → B aponta para a direita.

Mas como a barra viaja para a esquerda, existe uma força externa atuando na barra apontando para a esquerda e como v → é constante, essa força externa tem a mesma magnitude da força magnética.

Como l → aponta para o sentido da corrente, temos que

l → = L j , no sentido positivo de y

Fazendo o produto vetorial de i l → × B → ...

i l → × B → = i j k 0 i L 0 0 0 B = i L B i

Com isso, vemos que a força magnética F → B resulta em

F → B = i L B i

Como como estamos interessados na magnitude da força externa F → e como F → B = - F → . Temos

F = F → = F → B

F = i L B

Substituindo i pelo valor que calculamos a pouco, vamos obter

i = B L v → R → F = i L B

F = B L v → R L B

Simplificando...

F = B 2 L 2 v → R

E essa é a força externa que mantem a barra R em movimento constante.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) ε = B L v →

b) i = B L v → R , horário.

c) P = B L v → 2 R

d) F = B 2 L 2 v → R

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