Exercícios Resolvidos de Indução, Energia e Potência

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Enunciado

A figura mostra uma barra de comprimento L   =   10,0   c m que é forçada a se mover com velocidade escalar constante v   =   5,00   m / s ao longo de trilhos horizontais. A barra, os trilhos e a fita metálica na extremidade direita dos trilhos formam uma espira condutora. A barra tem uma resistência de 0,400 Ω; a resistência do resto da espira é desprezível. Uma corrente i   =   100   A   que percorre um fio longo situado a uma distância a   =   10,0   m m da espira

produz um campo magnético (não uniforme) que atravessa a espira. Determine (a) a força eletromotriz e (b) a corrente induzida da espira. (c) Qual é a potência dissipada na espira? (d) Qual é o módulo da força que deve ser aplicada à espira para que se mova com velocidade constante? (e) Qual é a taxa com a qual a força realiza trabalho sobre a espira?

Passo 1

Vamos por partes pois o exercício é longo e envolve uma série de conceitos.

Como o exercício está falando de uma espira variando o seu tamanho (área), podemos admitir que se trata de um exercício sobre lei de Faraday.

Primeiro vamos calcular a força eletromotriz induzida:

Vamos chamar x a distância entre a barra e a extremidade direita dos trilhos.

Presisamos lembrar da fórmula do campo magnético gerado por um fio em um ponto do espaço:

B =   μ 0   i 2 π r

Sendo r a distância entre o ponto e o fio; i a corrente no fio e μ 0   a permeabilidade magnética no vácuo.

Agora vamos considerar uma tira horizontal (paralela ao fio) infinitesimal de comprimento x e largura d r , situada a uma distância r do fio. A área desta tira é: A = x   d r .

Então o fluxo através da tira é:

d ∅   B = B   d A =     μ 0   i 2 π r   x d r

Como precisamos do fluxo total na área envolvida pela espira formada pela barra e pelos trilhos, temos:

∅   B =   μ 0   i   x 2 π   ∫ a a + L d r r = μ 0   i   x 2 π ln ⁡ a + L a

De acordo com a lei de Faraday, a força eletromotriz induzida na espira é:

ε =   d ∅   B d t   =   d μ 0   i   x 2 π ln ⁡ a + L a d t    

A única variável que depende do tempo, neste caso, é   x :

ε =   d ∅   B d t   =   d μ 0   i   x 2 π ln ⁡ a + L a d t   = μ 0   i   2 π ln ⁡ a + L a d x d t    

Sabemos lá da física 1 que d x d t nada mais é do que a velocidade:

ε =   d ∅   B d t   =   d μ 0   i   x 2 π ln ⁡ a + L a d t   = μ 0   i   2 π ln ⁡ a + L a d x d t     =   μ 0   i   2 π ln ⁡ a + L a v  

Entao:

ε =   μ 0   i   2 π ln ⁡ a + L a v

Substituindo:

ε =   4 π   x   10 - 7 ( 100 )   2 π ln ⁡ ( 10   x   10 - 3 ) + ( 10   x   10 - 2 ) a ( 10   x   10 - 3 ) 5 = 2,4   x   10 - 4 V = 240   μ V

Essa foi a letra (a)! Vamos continuar!

Passo 2

Para encontrarmos a corrente induzida na espira, precisamos lembrar da lei de Ohm:

V = R   i

Ou:

i =   V R

Com as variáveis do problema:

i i n d =   ε R

Substituindo:

i i n d =   ε R =   240   x   10 - 6 0,4 = 6   x   10 - 4 = 0,600   m A

Agora precisamos descobrir o sentido desta corrente:

Como a barra está se movimentando para a esquerda, a área da espira está aumentando. Portanto, o fluxo do campo magnético também está aumentando.

Pela lei de Faraday, a corrente induzida na espira terá o sentido oposto à essa variação do fluxo do campo magnético. Como o campo magnético está saindo do papel na área da espira, a corrente induzida irá gerar um campo magnético no sentido contrario, ou seja, entrando no papel. Pela regra da mao direita, se o nosso polegar aponta no sentido de entrar na folha, nossos dedos fazem o movimento no sentido horário.

Passo 3

Para resolver a letra (c), precisamos lembrar da fórmula da potência dissipada num resistor (que nesse caso é a resistência da espira):

P =   i i n d ² R

Substituindo:

P = 6   x   10 - 4 2 0,400 = 1,44   x   10 - 7 W = 0,144   μ W

Passo 4

Para resolver a letra (d), precisamos considerar que para que a barra se mova com velocidade constante, a resultante das forças que agem sobre a barra deve ser nula. Para isso, a força externa aplicada à barra deve ser igual, em módulo, à força magnética e deve ter o sentido oposto. O módulo da força magnética exercida sobre um segmento infinitesimal da barra de comprimento d r , situado a uma distância r do fio, é

d F B = i   B   d r =   μ 0   i   i i n d 2 π r   d r

Integrando a força magnética sobre toda a barra:

F B =   μ 0   i   i i n d 2 π   ∫ a a + L d r r =   μ 0   i   i i n d 2 π     ln ⁡ a + L a

Substituindo:

F B =   μ 0   i   i i n d 2 π     ln ⁡ a + L a =   4 π   x   10 - 7 ( 100 ) ( 6   x   10 - 4 )   2 π ln ⁡ ( 10   x   10 - 3 ) + ( 10   x   10 - 2 ) a ( 10   x   10 - 3 )

Temos que:

F B =   2,87   x   10 -   8   N

Como o campo produzido pelo fio aponta para fora do papel na região onde a barra está se movendo e o sentido da corrente na barra é para cima, a força associada ao campo magnético aponta para a direita (pela regra da mão direita) e, portanto, a força externa aplicada deve apontar para a esquerda.

Passo 5

Finalmente, para resolver a letra (e), precisamos lembrar lá de física 1 que a taxa com que uma força externa realiza trabalho é dada pela fórmula:

P = F   v

Sendo P a potência (taxa de energia de trabalho por segundo); F a força e v a velocidade.

Substituindo:

P = F   v = 2,87   x   10 -   8   5 = 1,44   x   10 - 7 W =   0,144   μ W

Como toda a energia fornecida pela força externa é convertida em energia térmica, este valor é igual ao da potência dissipada na espira, calculada na letra (c).

Resposta

(a) ε = 240   μ V

(b) i i n d = 0,600   m A , sentido horário.

(c) P = 0,144   μ W

(d) F B =   2,87   x   10 -   8   N

(e) P =   0,144   μ W

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