Exercícios Resolvidos de Indução, Energia e Potência

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Enunciado

Uma espira é formada por duas partes: um trilho condutor em forma de U invertido, de largura D , onde está colocado um resistor R e uma haste horizontal condutora (sem massa) que desce em contato com o U invertido e sustenta uma massa m (veja figura abaixo).

Esta espira (que está no plano vertical x y ) é perpendicular a um campo magnético  B → = - B 0 k ^ . Suponha que não existam atritos mecânicos no problema.

  1. Situação 1: B 0 = c o n s t a n t e . Encontre a velocidade final de descida, que é constante, para a massa m .
  2. Situação 2: B 0 t = a t n . Considere, também, que no instante t = 0 a haste horizontal que sustenta a massa está em uma posição tal que a área formada é igual a 2 D 2 . Encontre a e n de modo que a massa fique sempre estacionária. OBS: Não se preocupe com o instante inicial.
  3. Para os casos de a) e b), a corrente circula na espira no sentido horário ou anti-horário? Justifique suas afirmações.
  4. Para o caso b), calcule a potência em função do tempo, para t > 0 , realizada pelas correntes externas que geram o campo magnético, enquanto a massa fica estacionária.

Passo 1

a) Aqui vemos que, enquanto a massa m desce, a área através da qual o campo magnético passa aumenta com o tempo. Isso significa que vai aparecer uma fem induzida que vai se opor à variação temporal do fluxo.

Como o campo magnético neste item é constante, o fluxo magnético será dado por

Φ B = B 0 A = B 0 D x t   ,  

em que x ( t ) é o comprimento na direção do eixo O x que está variando com o tempo. Portanto, o módulo da fem induzida será

| E | = - d Φ B d t = B 0 D d x t d t   .

Como d x t d t = v = c o n s t a n t e e | E | = R I i n d , teremos que a corrente induzida será

I i n d = B 0 D v R   .

Quando essa corrente passa pela barra condutora, e esta barra é perpendicular ao campo magnético, a força que aparece na barra é

F → b a r r a = I i n d D B 0 - x ^ = B 0 2 D 2 v R - x ^ .

Como a barra tem velocidade constante,   F → b a r r a , que tem mesma direção e sentido contrário ao da força peso, precisa também ter o mesmo módulo, o que nos dá

F → b a r r a = B 0 2 D 2 v R = m g     ⇒     v = m g R B 0 2 D 2     .

Passo 2

b) Neste item, a área permanece fixa no tempo e tem valor 2 D 2 , mas o campo magnético varia no tempo. Como o campo magnético está entrando na página,   B → = a t n ( - z ^ ) , podemos colocar o vetor área também na mesma direção e sentido:    A → = A - z ^ = 2 D 2 ( - z ^ ) . Por isso, o fluxo magnético será

Φ B t = 2 D 2 B 0 t = 2 D 2 a t n   .

O módulo da fem induzida é, então,

| E | = - d Φ B d t = 2 D 2 n a t n - 1 = R I i n d   ,

de onde a gente tira que a corrente induzida tem o seguinte valor

I i n d = 2 D 2 n a t n - 1 R   .

Novamente, quando I i n d passa pela barra condutora horizontal, surge também uma força   F → b a r r a para cima, cujo módulo é dado por

F → b a r r a = I i n d D B 0 t = 2 D 3 n a 2 t 2 n - 1 R = m g   ,

que é igual do peso m g da barra. O força-peso que atua na passa tem o mesmo valor para todo o tempo t , o que significa que a expressão acima à esquerda de m g tem que ser independente do tempo. Isso só vai acontecer se

n = 1 2   .

Se jogamos de voltamos de volta n = 1 2 em | F → b a r r a | , teremos

2 D 3 1 2 a 2 R = m g   ⇒ a = m g R D 3     .    

Portanto, somente para n = 1 / 2 e a = m g R D 3 1 2 , a barra fica sempre parada (estacionária) e a área pela qual passa o campo magnético é constante e igual a 2 D 2 .

Passo 3

c) Em ambos os itens anteriores temos o campo magnético entrando na página e o fluxo magnético aumentando com o tempo devido ao aumento da área com o tempo (item a) ou devido ao aumento do campo com o tempo (item b com área constante).

Nos dois casos, surge uma corrente induzida I i n d que produz um campo magnético induzido  B → i n d cujo fluxo se opõe à variação temporal do fluxo Φ B ( t ) . Por isso, pela lei de Lenz, I i n d tem sentido anti-horário nos dois casos e  B → i n d está saindo da página perpendicular a ela.

Passo 4

d) Para o item b), no Passo 2 encontramos que n = 1 / 2 . Para esse valor, temos que a corrente induzida é dada por

I i n d = 2 D 2 ( 1 / 2 ) a t 1 / 2 - 1 R ⇒ I i n d = D 2 a t - 1 2 R   .

O único element do circuito que dissipa energia é o resistor e taxa com que essa energia é dissipada é dada pela potência P d i s s , ou seja,

P d i s s = R I i n d 2 = D 4 a 2 t - 1 R = D 4 a 2 R t

Mas no Passo 2, encontramos que a constante a é igual a:

a = m g R D 3     .

Substituindo em P d i s s , temos

P d i s s = D 4 a 2 R t = D 4 R t m g R D 3

P d i s s = m g D t  

Resposta

  1. v = m g R B 0 2 D 2   ;
  2. n = 1 2     ;     a = m g R D 3     ;
  3. Ambas as correntes no sentido anti-horário;
  4. P d i s s = m g D t   .

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