Exercícios Resolvidos de Indução, Energia e Potência

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Enunciado

Uma espira condutora retangular de superfície A e resistência R gira ao redor do eixo Z com velocidade angular ω constante num campo magnético uniforme de modulo B e direção e sentido ao longo do eixo Y como mostrado na figura ao lado.

Considere o sentido do vetor unitário n ^ característico da superfície da espira para efeito de fluxo magnético como mostrado em figura.

a ) Determine o sinal do fluxo ϕ magnético que atravessa a espira e da sua derivada temporal nos seguintes intervalos:

0 < θ < π 2 ,     π 2 < θ < π ,     π < θ < 3 2 π ,     3 2 π < θ < 2 π

b ) Determine a expressão do fluxo magnético ϕ que atravessa a espira e da f e m induzida em função do ângulo θ . Faça um gráfico das duas grandezas para 0 < θ < 2 π .

c ) Calcule a potencia elétrica dissipada no resistor em função do ângulo θ .

d ) Qual deve ser a potência em função de tempo de um motor que está forçando a espira a girar com uma velocidade ω ? A potência média durante uma volta completa da espira é menor, maior ou igual a potencia elétrica dissipada no resistor? Justifique através de considerações energéticas.

Sugestão: A potência é igual ao momento τ aplicado pelo motor vezes a velocidade angular ω .

Passo 1

a ) Determine o sinal do fluxo ϕ magnético que atravessa a espira e da sua derivada temporal nos seguintes intervalos:

0 < θ < π 2 ,     π 2 < θ < π ,     π < θ < 3 2 π ,     3 2 π < θ < 2 π

O fluxo magnético, por definição, é dado por:

ϕ B = ∬ S B → . d A →

Onde d A → = d A   n ^ .

Como B é constante e uniforme, podemos reescrever a expressão do fluxo magnético como:

ϕ B = B → ∙ A →

Como se trata de um produto escalar entre os vetores B → e A → , podemos dizer que:

ϕ B = B A cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre os vetores.

Assim:

∂ ϕ B ∂ t = - B A sen ⁡ θ d θ d t = - ω B A sen ⁡ θ  

Passo 2

-

Agora só temos que verificar o sinal de ϕ B e ∂ ϕ B / ∂ t para cada caso, beleza?

  • 0 < θ < π 2
  • cos ⁡ θ > 0 → ϕ B > 0

    sen ⁡ θ > 0 → ∂ ϕ B ∂ t < 0

  • π 2 < θ < π
  • cos ⁡ θ < 0 → ϕ B < 0

    sen ⁡ θ > 0 → ∂ ϕ B ∂ t < 0

  • π < θ < 3 2 π
  • cos ⁡ θ < 0 → ϕ B < 0

    sen ⁡ θ < 0 → ∂ ϕ B ∂ t > 0

  • 3 2 π < θ < 2 π
  • cos ⁡ θ > 0 → ϕ B > 0

    sen ⁡ θ < 0 → ∂ ϕ B ∂ t > 0

    Passo 2

    b ) Determine a expressão do fluxo magnético ϕ que atravessa a espira e da f e m induzida em função do ângulo θ . Faça um gráfico das duas grandezas para 0 < θ < 2 π .

    Acabamos fazendo isso no passo anterior mas, só pra constar:

    O fluxo magnético, por definição, é dado por:

    ϕ B = ∬ S B → . d A →

    Onde d A → = d A   n ^ .

    Como B é constante e uniforme, podemos reescrever a expressão do fluxo magnético como:

    ϕ B = B → ∙ A →

    Como se trata de um produto escalar entre os vetores B → e A → , podemos dizer que:

    ϕ B = B A cos ⁡ θ

    A f e m induzida, de acordo com a Lei de Faraday, é dada por:

    ε = - ∂ ϕ B ∂ t

    Assim:

    ε = - ∂ ϕ B ∂ t = B A sen ⁡ θ d θ d t  

    ε = ω B A sen ⁡ θ

    O gráfico desses caras vai ter essa cara:

    Passo 3

    c ) Calcule a potencia elétrica dissipada no resistor em função do ângulo θ .

    Por definição, a potência elétrica no resistor é dada por:

    P R = ε 2 R

    Substituindo a expressão de ε que encontramos anteriormente, teremos:

    P R = ω B A sen ⁡ θ 2 R = ω 2 B 2 A 2 sen 2 ⁡ θ R

    Passo 4

    d ) Qual deve ser a potência em função de tempo de um motor que está forçando a espira a girar com uma velocidade ω ? A potência média durante uma volta completa da espira é menor, maior ou igual a potencia elétrica dissipada no resistor? Justifique através de considerações energéticas.

    A potência do motor será dada por:

    P m o t o r = τ → ω

    Então vamos começar calculando o torque magnético sobre a espira, que é dado por:

    τ → = μ → × B →

    Onde μ → = I A → = I A   n ^ . Logo:

    τ → = I A n ^ × B →

    τ → = I A B sen ⁡ θ

    Lembrando que I = ε / R , podemos reescrever a expressão acima como:

    τ → = ε A B sen ⁡ θ R

    Agora, substituindo a expressão de ε , teremos:

    τ → = ω A 2 B 2 sen 2 ⁡ θ R

    Finalmente a potência do motor é dada por:

    P m o t o r = τ → ω

    P m o t o r = ω 2 A 2 B 2 sen 2 ⁡ θ R

    A potência do motor é igual à potência elétrica dissipada no resistor. Isso significa que o trabalho realizado pelo motor é totalmente dissipado em calor no resistor.

    Resposta

    a )

  • 0 < θ < π 2
  • ϕ B > 0

    ∂ ϕ B ∂ t < 0

  • π 2 < θ < π
  • ϕ B < 0

    ∂ ϕ B ∂ t < 0

  • π < θ < 3 2 π
  • ϕ B < 0

    ∂ ϕ B ∂ t > 0

  • 3 2 π < θ < 2 π

ϕ B > 0

∂ ϕ B ∂ t > 0

b )

ϕ B = B A cos ⁡ θ

ε = ω B A sen ⁡ θ

c )

P R = ω 2 B 2 A 2 sen 2 ⁡ θ R

d )

P m o t o r = ω 2 A 2 B 2 sen 2 ⁡ θ R

A potência do motor é igual à potência elétrica dissipada no resistor. Isso significa que o trabalho realizado pelo motor é totalmente dissipado em calor no resistor.

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