Exercícios Resolvidos de Indução, Energia e Potência

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Enunciado

A figura abaixo mostra , em (a), uma espira circular concêntrica com um solenoide e está em um plano perpendicular ao eixo central do solenoide. A espira tem 6,00 cm de raio. O solenoide tem um raio de 2,00 cm, possui 8000 espiras/m e a corrente i s o l varia com o tempo   t da forma indicada na figura, em (b), onde a escala do eixo vertical é definida por i s = 1,00   A e a escala do eixo horizontal é definida por t s = 2,0   s . A figuramostra, em (c), em função do tempo, a energia E t que é transformada em energia térmica na espira; a escala do eixo vertical é definida por E s = 100,0   n J . Qual é a resistência da espira?

Passo 1

Bom, esse problema é um pouco complexo, devido a quantidade de informações, mas vamos com calma!

Primeiramente temos que perceber que se trata de uma questão sobre lei de Faraday. A corrente varia com o tempo e por causa diss, o fluxo do campo magnético vai variar também, e isso vai induzir uma força eletromotriz na espira.

Vamos lembrar da fórmula da lei de Faraday:

ε =   -   d ∅   [ B ] d t

Como essa questão não pergunta nada sobre o sentido da força eletromotriz induzida, nem de sua corrente, eu vou suprimir esse sinal de menos da equação.

Mas:

∅   B =   ∬ B   → .   d A →

Como no nosso problema a espira está posicionada em um plano perpendicular ao eixo central do solenoide:

∅   B =   ∬ B   → .   d A → = B A

E então:

ε =   d ∅   B d t   =     d B A d t =   A d B d t

Agora precisamos lembrar que o campo magnético no interior de um solenoide é dado pela fórmula:

B =   μ 0 n   i

Sendo que   i é a corrente passando pelo solenoide e n é o número de espiras por unidade de comprimento.

Obs.: o campo magnético do lado de fora do solenoide é zero!

Entao ficamos com:

ε = A d B d t = A d μ 0 n   i d t =   A   μ 0 n d i d t    

Vamos dar nome aos bois:

ε = A   μ 0 n d i d t    

ε : força eletromotriz induzida;

A : área do solenoide;

μ 0 : permeabilidade magnética do vácuo, com valor 4   x   10 - 7

i : corrente elétrica no solenoide;

t : tempo.

Passo 2

Agora vamos avaliar o que diz a figura (b).

Na figura (b) temos que d i d t =   1,00   A 2,0   s = 0,5   A / s

Sendo n   =   8000 e A   = π r ² =   π ( 2   x   10 - 2 ) ²

Substituindo na formula:

ε = π 2   x   10 - 2 2 4   x   10 - 7 8000 0,5 = 2,0   x   10 - 6     V = 2,0   μ V

Passo 3

Agora vamos lembrar das equações lá de circuitos com resistores envolvendo a taxa de dissipação da energia elétrica devido a uma resistência:

Temos duas:

P = R   i ²

P = V ² R

Como nós temos o valor da força eletromotriz induzida na espira mas não temos a corrente induzida na espira, vamos utilizar a segunda fórmula:

P = ε 2 R  

Rearranjando:

R = ε 2 P

Agora precisamos achar a potência, ou seja, uma taxa de energia por tempo.

Passo 4

Agora vamos avaliar o que diz a figura (c).

Na figura (c) temos que d E t d t =   80,0   n J 2,0   s = 40   n J / s .

Repara que a a escala é dividida em 5 partes mas a reta só vai até a quarta parte, ou seja, 4 5 da escala total de 100 nJ, que é 80 nJ. Fica ligado!

Voltamos a nossa formula:

R = ε 2 P = ( 2,0   x   10 - 6     V ) ² 40   x   10 - 9     J / s = 1,0   m Ω    

Resposta

R = 1,0   m Ω    

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