Exercícios Resolvidos de Indução, Energia e Potência

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Enunciado

Um campo magnético uniforme é perpendicular a uma espira circular condutora de resistência desprezível, como mostrado na figura abaixo. O campo varia com o tempo como mostra a figura. (O sentido positivo do eixo z é para fora da página). O raio da espira é r = 50   c m e ela está conectada em série a um resistor de resistência R = 20   Ω .

  1. Qual é a expressão da f e m induzida no circuito em função do tempo?
  2. Faça um gráfico da f e m induzida em função do tempo, considerando valores e unidades. Observe os sinais. Observe o sentido positivo da f e m deve ser consistente com a hipótese de que  B → está saindo do papel;
  3. Faça um gráfico da corrente através do resistor R em função do tempo, considerando valores e sinais. Indique o sentido da corrente através de R para cada intervalo de tempo (horário, anti-horário ou nenhum);
  4. Determine a energia dissipada no resistor no intervalo de tempo entre 0 e 10   s .

Passo 1

a) O campo magnético é uniforme, porém depende do tempo. Isso significa que, para todo instante de tempo t , ele tem o mesmo valor em todos pontos da superfície plana definida pela espira. Podemos escrever o vetor campo magnético como   B → = B ( t ) ( + z ^ ) .

Como o campo está saindo da página e é perpendicular a ela em todos os pontos, podemos colocar nosso vetor área como   A → = π r 2 ( + z ^ ) , ou seja, é paralelo à   B → . Com isso, o fluxo magnético fica

Φ B t = ∫ S B → ⋅ d A → = B t A .

Portanto, a f e m induzida terá a seguinte expressão

ε t = - d Φ B t d t = - π r 2 d B t d t     .

Passo 2

b) Agora, vamos analisar como é o campo magnético em cada intervalo de tempo. No intervalo 0 ≤ t ≤ 2   s , olhando para o gráfico que o problema fornece, o campo magnético tem a seguinte função, que é uma reta crescente com coeficiente angular 5 2   T / s (Tesla por segundo):

B t = 2,5   t   T / s   .

Para esse intervalo de tempo, a f e m induzida será

ε = - 2,5 π r 2 = - 1,96   V < 0   ,

que é constante e negativa.

Para o intervalo 2 < t ≤ 4   s , o campo é constante e a f e m será ε = 0 , já que a derivada de uma constante é igual a zero.

No intervalo 4 < t ≤ 8   s , o campo magnético é reta decrescente

B t = - 5 t 4 + 10   ( T / s )   .

A f e m induzida para esse caso será constante e igual a ε = 0,98   V .

Juntando tudo isso num gráfico e lembrando que o sentido positivo é anti-horário, teremos

Passo 3

c) Como ε = R i , então a corrente no primeiro intervalo do Passo 1 será igual a i = - 0,098   A . Como o vetor área   A → aponta para fora do plano da página, pela regra da mão direita, o sentido positivo para a fem e a corrente induzida será o anti-horário. Por isso, nesse primeiro intervalo de tempo, a corrente induzida estará no sentido horário.

No segundo, i = 0 e no terceiro i = 0,049   A e vai circular no sentido anti-horário, sendo que este é o sentido positivo. Colocando esses valores num gráfico, teremos o seguinte

Passo 4

d) A energia dissipada será a soma das energias dissipadas em cada um dos intervalos de tempo acima. Por isso, teremos

U d i s s = R 0,098 2 + 0,049 2 = 0,24   J   .

A potência dissipada no intervalo de tempo de 10 s será

P d i s s = 0,24   J 10   s = 0,024   W   .

Resposta

  1. ε t = - π r 2 d B t d t   ;
  2. Ver o gráfico do Passo 2 ;
  3. Ver o gráfico do Passo 3 ;
  4. U d i s s = 0,24   J       ;     P d i s s = 0,24   J 10   s = 0,024   W   .

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