Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Passo 1

Bom, o enunciado dá a expressão da derivada e pede a y . Então precisamos integrar aquela derivada. Relaxa, que daqui a pouco a gente vai usar o ponto que ele deu.

y ' x = x 2 x 2 + 1

Integrando ambos os lados com respeito a x :

y x = ∫ x 2 x 2 + 1 d x

Passo 2

Vamos utilizar o método da substituição para resolver essa integral:

u = 2 x 2 + 1 → d u = 4 x d x

Passo 3

Substituindo na integral:

∫ x 2 x 2 + 1 d x = 1 4 ∫ 1 u d u

Passo 4

Resolvendo a integral:

1 4 ∫ u - 1 2 d u = 1 4 u 1 2 1 2 + C = u 1 2 2 + C

Passo 5

Lembrando de algo MUITO IMPORTANTE! u foi uma variável que você criou, então precisamos voltar para a variável do problema, ok?

u = 2 x 2 + 1

u 1 2 2 + C = 2 x 2 + 1 1 2 2 + C = 2 x 2 + 1 2 + C

Prontinho! Agora tá certinho. 😊

Passo 6

O que encontramos até agora foi uma família de funções que tem a derivada igual àquela dada no enunciado.

Finalmente, vamos usar aquela informação do ponto ( 0 , 1 ) pertencer à função para descobrirmos o valor da constante C .

y 0 = 1

y x = 2 x 2 + 1 2 + C

y 0 = 1 → 1 2 + C = 1 → C = 1 2

Então a função procurada é:

y x = 2 x 2 + 1 2 + 1 2

Resposta

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