Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Passo 1

Bom, o enunciado dá a expressão da derivada e pede a f . Então precisamos integrar aquela derivada. Relaxa, que daqui a pouco a gente vai usar o ponto que ele deu.

f ' x = 1 - s e n 2 x s e n 2 x

Integrando ambos os lados com respeito a x :

f x = ∫ 1 - s e n 2 x s e n 2 x d x

Lembra dessas relações?

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x

Então vamos reescrever nossa integral assim:

2 ∫ c o s 2 x s e n x c o s ⁡ ( x ) d x = 2 ∫ c o s 3 x s e n x d x

Passo 2

Vamos utilizar o método da substituição para resolver essa integral, já que já vimos que seno e cosseno estão relacionados quando falamos de integral e derivada:

u = cos ⁡ x → d u = - s e n ( x ) d x

Passo 3

Substituindo na integral:

2 ∫ c o s 3 x s e n x d x = - 2 ∫ u 3 d u

Passo 4

Resolvendo a integral:

- 2 ∫ u 3 d u = - 2 u 4 4 + C = - u 4 2 + C

Passo 5

Lembrando de algo MUITO IMPORTANTE! u foi uma variável que você criou, então precisamos voltar para a variável do problema, ok?

u = c o s ⁡ ( x )

- u 4 2 + C = - ( c o s ⁡ ( x ) ) 4 2 + C

Prontinho! Agora tá certinho. 😊

Passo 6

O que encontramos até agora foi uma família de funções que tem a derivada igual àquela dada no enunciado.

Finalmente, vamos usar aquela informação do ponto ( π 2 , 0 ) pertencer à função para descobrirmos o valor da constante C .

f π 2 = 0

f x = - ( c o s ⁡ ( x ) ) 4 2 + C

f π 2 = 0 → - cos ⁡ π 2 4 2 + C = 0 → C = 0

Então a função procurada é:

f x = - cos ⁡ x 4 2

Cara, essa resposta SIGNIFICA A MESMA COISA que aquela expressão que está gabarito. Sabe como chegamos naquela coisa feia? Assim ó:

c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

c o s 4 x = 1 - s e n 2 x 2 = 1 - 2 s e n 2 x + s e n 4 x

- c o s 4 x = - 1 + 2 s e n 2 x - s e n 4 x

- c o s 4 x 2 = - 1 2 + s e n 2 x - s e n 4 x 2

Pronto! Agora te mostrei que era a mesma coisa e é essa resposta que está no gabarito:

f x = s e n 2 x - 1 2 s e n 4 x - 1 2

OBS.: Não seria um problema você responder y x = - c o s 4 x 2 .

Resposta

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