Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Use o item (i) do exercício 7 para resolver a equação diferencial y ' x = 2 + x 2 x com a condição inicial y 1 = 10 .

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pede para resolvermos essa equação diferencial

y ' x = 2 + x 2 x

y 1 = 10 .

Bom, uma equação diferencial é uma equação que tem como variável a derivada de uma função!

Então quando o problema diz para resolvermos essa equação aqui

y ' x = 2 + x 2 x

Ele está perguntando na realidade qual função y ( x ) que quando for derivada dá a função 2 + x 2 x !

E qual é o nome mesmo que damos a essa função y ( x ) ? De primitiva! Ou seja, queremos saber qual é a integral de y ' x ! Ou na forma de integral

y x = ∫ y ' ( x ) d x

Tudo bem até aqui?

E onde entra o item (i)? Entra que nesse item a gente vai calcular justamente a integral de 2 + x 2 x !

Vou resgatar de lá o resultado:

Sabe esse + C ? É agora que vamos usar a condição inicial! Vamos descobrir qual é a solução específica que satisfaz esse ponto!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos que queremos a solução y ( x ) e que ela é a integral daquela função lá do passo anterior:

y x = ∫ 2 + x 2 x d x

E usando o resultado já calculado (se você tem dúvidas, dá uma espiadinha na lista 4.2, questão 7 item (i), beleza?) temos o seguinte:

y x = - 2 x + 2 7 x 7 + C

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos aplicar a condição inicial y 1 = 10 :

y x = - 2 x + 2 7 x 7 + C

y 1 = - 2 1 + 2 7 1 7 + C = 10

- 2 + 2 7 + C = 10

C = 10 + 2 - 2 7 = 10 + 14 - 2 7 = 22 7

Então encontramos qual constante C que satisfaz a condição inicial

E assim encontramos a solução da equação diferencial:

y x = - 2 x + 2 7 x 7 + 22 7

Beleza? E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = - 2 x + 2 7 x 7 + 22 7

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