Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Em um tanque CSTR, uma reação de segunda ordem ocorre segundo a lei

- d C A d t = k C A C B

Sendo A e B substratos dessa reação. Sabe-se que k é uma constante de reação e que C A se relacionam com a conversão de A da seguinte forma:

C A = C A 0 1 - X A

C B = C A 0 1 - X A

Onde C A 0 é a concentração inicial de A e X A é a conversão de A . Ache uma expressão para X A t sabendo que X A 0 = 0,8

Passo 1

Pode atéééé não parecer, mas essa questão da tudo que a gente precisa. E não, não precisamos entender sobre química pra resolver essa questão.

Vamos reescrever o enunciado da forma que a gente consiga achar x . Como:

- d C A d t = k C A C B

E ainda:

C A = C A 0 1 - X A

C B = C A 0 1 - X A

Reescrevemos:

- d d t C A 0 1 - X A = k C A 0 1 - X A C A 0 2 - X A

C A 0 d X A d t = k C A 0 2 1 - X A 2

d X A d t = k C A 0 1 - X A 2

Passando o d t pro lado direito e tudo que tem X A pro lado esquerdo:

d X A 1 - X A 2 = k C A 0

Passo 2

Agora, aplicamos a integral dos dois lados:

∫ d X A 1 - X A 2 = ∫ k C A 0 d t

A integral da esquerda é: ∫ d X A 1 - X A 2 = 1 1 - X A + C 1

A integral da direita será: ∫ k C A 0 d t = k C A 0 t + C 2

Passo 3

Substituindo na equação:

∫ d X A 1 - X A 2 = ∫ k C A 0 d t

1 1 - X A + C 1 = k C A 0 t + C 2

Isolando V e considerando C = C 2 - C 1 :

1 1 - X A = k C A 0 t + C

Passo 4

Vamos descobrir um valor de C que garante solução para o problema. Usando a segunda informação:

X A 0 = 0,8

Então:

1 1 - 0,8 = k C A 0 . 0 + C

1 0,2 = C

C = 5

Assim, substituindo, temos:

1 1 - X A = k C A 0 t + 5

Passo 5

Nesse último passo a gente vai só reorganizar a função pra achar o famoso X A t . Sendo:

1 1 - X A = k C A 0 t + 5

Se elevarmos os dois lados à - 1 :

1 - X A = 1 k C A 0 t + 5

Multiplicando os dois lados por - 1

X A - 1 = - 1 k C A 0 t + 5

E somando os dois lados a 1 , fechamos com:

X A t = 1 - 1 k C A 0 t + 5

Resposta

X A t = 1 - 1 k C A 0 t + 5

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