Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial para cada uma das equações abaixo:

( b )   y ' = ( 1 - y ) y , com a condição inicial y ( 0 ) = 1 / 2

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Queremos resolver a seguinte equação diferencial

y ' = ( 1 - y ) y

e, devemos aplicar a condição inicial y ( 0 ) = 1 / 2 . Esta é uma equação diferencial de primeira ordem separável, pois podemos escrevê-la no seguinte formato

d y d x = ( 1 - y ) y

separável, pois, é possível deixar x em um lado e y no outro, da seguinte maneira

d y ( 1 - y ) y = d x

Então o trabalho está em resolver a integral em ambos os lados! Bora lá!

Passo 2

Integrando dos dois lados temos que

∫ d y y ( 1 - y ) = ∫ d x

O lado direito pode ser resolvido diretamente como

∫ d x = x + C

já que é a soma simples de um infinitesimal. O lado esquerdo no entanto, é um pouco mais problemático, nós temos a seguinte integral

∫ d y y ( 1 - y )

Aqui, será conveniente usar o método de frações parciais! Vamos partir daí!

Passo 3

O método de frações parciais indica que podemos separar a fração no integrando como

1 y ( 1 - y ) = A y + B 1 - y

Se multiplicarmos ambos os lados por y ( 1 - y ) , temos que

1 = A ( 1 - y ) + B y = A - A y + B y

Juntando todos os termos constantes e todos os termos acompanhados de y , temos que

1 = A + ( B - A ) y

Para encontrar os valores de A e B , temos que garantir que os coeficientes de y e os termos independentes de ambos os lados da equação acima sejam iguais, portanto, é direto observar que

A = 1

e, também que

B - A = 0

e, portanto, temos que B = 1 . A nossa fração toma então a seguinte forma

1 y ( 1 - y ) = 1 y + 1 1 - y

Vamos usar isso para resolver a nossa integral! Vamos lá!

Passo 4

Temos que calcular a seguinte integração

∫ d y y ( 1 - y ) = ∫ 1 y d y + ∫ 1 1 - y d y

Podemos usar a seguinte identificação

∫ d y y - c = l n ( y - c ) + C

portanto, reescrevendo um pouco as nossas integrais

∫ 1 y d y + ∫ 1 1 - y d y = ∫ 1 y d y - ∫ 1 y - 1 d y

podemos identificar as primitivas como

∫ 1 y d y - ∫ 1 y - 1 d y = l n ( y ) - l n ( y - 1 ) + C

vamos usar isso para encontrar a solução da nossa equação diferencial!

Passo 5

Usando o resultado que calculamos no passo anterior, temos que a equação diferencial tem o seguinte formato

l n ( y ) - l n ( y - 1 ) = x + C

usando propriedades do logaritmo podemos escrever o lado esquerdo como

l n ( y y - 1 ) = x + C

Aplicando a função exponencial de ambos os lados, temos que

y y - 1 = e x + C = K e x

onde chamei e C = K . Vamos precisar isolar explicitamente y ( x ) antes de aplicar a condição inicial dada! Bora lá!

Passo 6

Multiplicando os dois lados da equação por y - 1 , temos que

y = ( y - 1 ) K e x = y K e x - K e x

se passarmos todos os termos com y para o lado esquerdo, obtemos que

y - y K e x = - K e x

Colocando y em evidência e isolando, obtemos

y ( x ) = - K e x 1 - K e x

Maravilha! Agora, usando que y ( 0 ) = 1 / 2 , podemos tentar isolar a constante K !

Passo 7

Temos que

1 2 = - K e 0 1 - K e 0 = - K 1 - K

Multiplicando os dois lados por 1 - K , temos

1 2 - 1 2 K = - K

Portanto, temos que

- K 2 = 1 2

Portanto, K = 1 , e a solução se torna simplesmente

y ( x ) = - e x 1 - e x

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y ( x ) = - e x 1 - e x

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