Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial para cada uma das equações abaixo:

( a ) y ' - c o s ( x ) y = x e ( x 2 + s e n ( x ) ) , com a condição inicial y ( 0 ) = 3 .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Queremos resolver a seguinte equação diferencial

y ' - c o s ( x ) y = x e ( x 2 + s e n ( x ) )

e, devemos aplicar a condição inicial y ( 0 ) = 3 . Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que não é separável! Portanto, não temos muita escolha se não aplicar o método do fator integrante

I = e ∫ p ( x ) d x

em que p ( x ) pode ser identificado se nossa equação diferencial estiver no formato

y ' + p ( x ) y = q ( x )

Vamos tentar resolver isso agora! Vem comigo!

Passo 2

De cada podemos identificar que p ( x ) = - c o s ( x ) , e portanto, precisamos resolver a seguinte integral

∫ p ( x ) d x = - ∫ c o s ( x ) d x

a primitiva relacionada a esta integral é conhecida como

∫ c o s ( x ) d x = s e n ( x )

e, portanto, temos que

I = e - s e n ( x )

Vamos usar isso para resolver nosso problema! Saca só!

Passo 3

Vamos multiplicar toda nossa equação diferencial pelo fator integrante, temos que

y ' e - s e n ( x ) - c o s ( x ) e - s e n ( x ) y = x e - s e n ( x ) e ( x 2 + s e n ( x ) )

Parece até mágica, mas não é! Temos que do lado esquerdo podemos identificar a seguinte derivada do produto

d d x [ y e - s e n ( x ) ] = y ' e - s e n ( x ) - c o s ( x ) e - s e n ( x ) y

Eu não abri a derivada aqui, mas pode confiar que realmente é a derivada do produto. Isso sempre acontece neste tipo de questão quando se aplica o método do fator integrante. Se tiver dúvidas de como expandir a derivada, é só usar a regra do produto, a regra da cadeia e algumas derivadas conhecidas, belezinha? O lado direito pode ser simplificado como

x e - s e n ( x ) e ( x 2 + s e n ( x ) ) = x e x 2

E, portanto, a equação diferencial que precisamos resolver agora é muito mais simples, ela tem a seguinte forma

d d x [ y e - s e n ( x ) ] = x e x 2

Vamos tentar resolver esta equação agora! Bora lá!

Passo 4

Se multiplicarmos toda a equação por d x , temos que

d d x [ y e - s e n ( x ) ] d x = x e x 2 d x

Podemos então identificar o diferencial do lado esquerdo, e integral dos dois lados para obter

∫ d [ y e - s e n ( x ) ] = ∫ x e x 2 d x

A integral do lado esquerdo é diretamente obtida já que estamos somando um infinitesimal, do lado direito no entanto ainda teremos que mexer um pouquinho, para resumir, temos que

y e - s e n ( x ) = ∫ x e x 2 d x

Lembra como se resolve esta integral do lado direito? Vamos tentar uma substituição simples!

Passo 5

Usando que u = x 2 e d u = 2 x   d x , podemos escrever a nossa integral como

∫ x e x 2 d x = 1 2 ∫ e u d u

como a integral da exponencial é a própria exponencial, temos que

∫ x e x 2 d x = 1 2 ∫ e u d u = 1 2 e u + C

No entanto, precisamos voltar para a variável original que é u = x 2 , de forma que obtemos

∫ x e x 2 d x = 1 2 e x 2 + C

ou seja, a equação diferencial tem a solução dada pela expressão

y e - s e n ( x ) = 1 2 e x 2 + C

ou, isolando a função y ( x ) , temos que

y ( x ) = 1 2 e s e n ( x ) e x 2 + C e s e n ( x )

Estamos quase acabando, só precisamos aplicar a condição inicial! Vamos fazer isso!

Passo 6

Usando a condição inicial dada como y ( 0 ) = 3 , temos que

y ( 0 ) = 3 = 1 2 e s e n ( 0 ) e 0 2 + C e s e n ( 0 )

que pode ser simplificado para simplesmente

3 = 1 2 + C

em que podemos isolar a nossa constante como

C = 3 - 1 2 = 5 2

A solução da equação diferencial é então dada por

y ( x ) = 1 2 e s e n ( x ) e x 2 + 5 2 e s e n ( x ) = e s e n ( x ) 2 [ e x 2 + 5 ]

A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima jajá! Bora lá!

Resposta

y ( x ) = e s e n ( x ) 2 [ e x 2 + 5 ]

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