Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

Ver Teoria

Enunciado

2b) Determine a função F : I R → I R que cumpre:

F ' x = 1 - x 2 1 + x 2               ;             F 1 = π 2

Passo 1

Como a questão quer que a gente determine F x e temos F ' x , vamos ter que integrar. Isso porque:

F x = ∫ F ' x   d x

Sendo assim, temos:

F x = ∫ 1 - x 2 1 + x 2   d x

Pra fazer essa integral, como 1 + x 2 não possui raízes nem nada, não vai rolar frações parciais. Vamos então mexer um pouco nessa integral:

F x = - ∫ - 1 + x 2 1 + x 2   d x

Ok, ainda não ajudou muito. Mas ainda podemos fazer uma coisa que vai ajudar bastante: somar e subtrair por 2 no numerador. Isso até parece que não dá em nada, mas saca só a malandragem:

F x = - ∫ - 1 + x 2 + 2 - 2 1 + x 2   d x

F x = - ∫ 1 + x 2 - 2 1 + x 2   d x

F x = - ∫ 1 + x 2 1 + x 2   d x - ∫ 2 1 + x 2   d x

F x = - ∫ 1   d x - ∫ 2 1 + x 2   d x

F x = ∫ 2 1 + x 2   d x - ∫ 1   d x

O que finalmente, nos resulta em:

F x = 2 ∫ 1 1 + x 2   d x - ∫ 1   d x

E porque esse resultado é bom? Bem, são integrais de resolução direta! Vamos ter então que:

F x = 2 arctan ⁡ x - x + C

Passo 2

Ainda não acabou em! Conseguimos integrar, mas apareceu uma constante de integração danada. Como a questão quer F x definida, não podemos responder C assim, temos que achar seu valor! Só que como:

F 1 = π 2

Podemos substituir:

F 1 = 2 arctan ⁡ 1 - 1 + C = π 2

O arco cuja tangente é 1 é o arco com valores de seno e cosseno iguais em! E quem é esse se não 45 º = π 4 ? Usando o valor em radianos então:

2 ∙ π 4 - 1 + C = π 2

π 2 - 1 + C = π 2

- 1 + C = 0

C = 1

E portanto, definimos F x como:

F x = 2 arctan ⁡ x - x + 1

Resposta

F x = 2 arctan ⁡ x - x + 1

Exercícios de Livros Relacionados

A densidade linear de um cabo de comprimento de 1 m é dado por ρ x = 1 / x , em gramas por centímetro, onde x é medido em centímetros a partir da extremidade do cabo. Encontre a massa do cabo.
Mostre que, para um movimento em uma reta com aceleração constante a , velocidade inicial v 0 e deslocamento inicial s 0 , o deslocamento depois de um tempo t é s = 1 2 a t 2 + v 0 + s 0
Uma companhia estima que o custo marginal (em dólares por item) de produzir x itens é 1,92 - 0,002 x . Se o custo de produzir um item for $562 , encontre o custo de produzir 100 itens.
Exercício: 54 – Calcule o problema de valor inicial determinando x e função de t: t + 1 d x d t = x 2 + 1,( t- 1 ) x 0 = 0
Encontre f . f ' ' θ = s e nθ + cos ⁡ θ ,f 0 = 3 , f ' 0 = 4