Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Utilize o exercício anterior para concluir que se um objeto possui função velocidade v ( t ) e posição inicial s 0 = s 0 , então sua função posição é dada por s t = s 0 + ∫ 0 t v t ~ d t ~ .

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema nos disse para usar o resultado do item anterior, então espera aí que vou lá buscar o resultado:

A equação diferencial:

y ' ( x )   =   f ( x )

Tem como solução:

y x = y 0 + ∫ a x f ( t ) d t

Ou seja, derivando a solução, teremos y ' x = f x . Mas o que podemos usar daqui nesse exercício?

Bom, sabemos que a velocidade de um corpo é a derivada da posição em relação ao tempo:

v t = d d t s t = s ' ( t )

Então a ideia aqui é integrar a velocidade, aplicar a condição inicial de s 0 = s 0 e encontrar a solução dada!

Mas relaxa, vamos fazer, juntos, passo a passo!

Passo 2

Voltando à velocidade instantânea de uma partícula:

v t = d s ( t ) d t

O que podemos fazer é multiplicar por d t dos dois lados e integrar a partir do instante t = 0 até um instante t :

∫ 0 t v ( t ) d t = ∫ 0 t d ( s ( t ) ) d t d t

Do lado direito, podemos identificar que t no integrando é uma variável muda, ou seja, ela serve apenas para integrarmos a função. Já aquele t no limite superior é um instante qualquer. Então para evitar confusão, vou trocar o t do integrando por t ~ , ok?

∫ 0 t v ( t ~ ) d t ~ = ∫ 0 t d ( s ( t ) ) d t d t

Já do lado direito, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo: a derivada da integral, ou a integral da derivada é a própria função de dentro aplicada nos limites:

∫ 0 t d ( s ( t ) ) d t d t = s t - s 0 = s t - s 0

Sendo assim temos a posição s ( t ) em função da integral da velocidade:

∫ 0 t v ( t ~ ) d t ~ = ∫ 0 t d ( s ( t ) ) d t d t

∫ 0 t v ( t ~ ) d t ~ = s t - s 0

s t = s 0 + ∫ 0 t v ( t ~ ) d t ~

E é isso que o problema pediu para mostrarmos!

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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