Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

Universidade Federal Fluminense – Cálculo IIA – Lista GMA 2 – Exercício 26

Resolva o problema de valor inicial: d y d x = x 2 x 2 + 1 y 0 = 1

Passo 1

Temos y ' x e queremos y x . Para chegar lá, colocamos cada infinitesimal num lado da primeira equação: d y d x = x 2 x 2 + 1 d y = x 2 x 2 + 1 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, aplicamos a integral nos dois lados:

d y = x 2 x 2 + 1 d x

Para a integral à esquerda, temos:

d y = y + C 1

Para a integral à direita, podemos fazer a substituição: u = 2 x 2 + 1

Ficando com: d u = 2 x 2 + 1 ' d x = 4 x d x

Resultando em:

x 2 x 2 + 1 d x = 1 4 d u u = 1 4 u - 1 / 2 d u =

1 4 u 1 - 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 4 2 u 1 / 2 = 1 2 u 1 / 2 + C 2

Voltando a x :

= 1 2 2 x 2 + 1 + C 2

Passo 3

Agora substituímos o que encontramos na equação: d y = x 2 x 2 + 1 d x y + C 1 = 1 2 2 x 2 + 1 + C 2  

Isolamos y e escrevemos as constantes como C :

y = 1 2 2 x 2 + 1 + C 2 - C 1

y = 1 2 2 x 2 + 1 + C

Passo 4

Para achar o valor de C para o PVI, usamos a segunda informação do problema: y 0 = 1

y 0 = 1 2 2 0 2 + 1 + C 1 2 + C = 1 C = 1 2

Assim, a solução será: y x = 1 2 2 x 2 + 1 + 1 2

Resposta

y = 1 2 2 x 2 + 1 + 1 2

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