Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Seja f uma função integrável fixada. Mostre que y x = y 0 + ∫ a x f ( t ) d t é uma solução para a equação diferencial   y ' ( x )   =   f ( x ) com condição inicial y ( a )   =   y 0 .

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema nos pediu para mostrar que

y x = y 0 + ∫ a x f ( t ) d t

É solução da equação diferencial

y ' ( x )   =   f ( x )

Mas como faremos isso?

Para verificar se uma solução é solução de uma equação diferencial dada precisamos derivar essa solução e substituir na equação diferencial! Se tudo estiver certo, vamos encontrar uma igualdade do tipo 1 = 1 ,   0 = 0 ,   o u   f x = f ( x ) , beleza?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A equação diferencial é a seguinte:

y ' ( x )   =   f ( x )

Então vamos pegar a solução dada y ( x ) , derivar em relação a x e substituir ali do lado esquerdo, ok?

A solução dada é:

y x = y 0 + ∫ a x f ( t ) d t

Derivando dos dois lados temos:

d d x y x = y ' x = d d x y 0 + ∫ a x f t d t

Do lado direito podemos dividir em duas derivadas:

y ' x = d d x y 0 + d d x ∫ a x f t d t  

O primeiro termo do lado direito é a derivada de uma constante, que sabemos vale zero.

Tranquilo?

O segundo termo é

d d x ∫ a x f t d t  

E aqui vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo:

d d x ∫ a x f t d t   = f ( x )

Beleza?

Então a derivada da nossa solução ficou:

y ' x = 0 + f ( x )

Passo 3

Agora vamos substituir na equação diferencial dada:

y ' x = f ( x )

0 + f x = f x

Opa! Encontramos uma verdade matemática!

Mostramos assim o que o problema pediu!

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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