Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Resolva o problema:

y ' = x sin ⁡ x y + 1 y π 2 = 0

Passo 1

A primeira coisa a fazer nessa questão é desembolar esse enunciado porque tem y e x do mesmo lado da equação. Passando então o y + 1 pra esquerda, ficamos com:

1 y + 1   y ' = x sin ⁡ x

Ok, isso ainda não está pronto, porque não sabemos quem é y ' . Mas bem, isso não é problema pra gente, se lembrarmos que:

y ' = d y d x

E logo, ficamos com:

1 y + 1   d y d x = x sin ⁡ x

Passando o d x pro lado direito:

1 y + 1 d y = x sin ⁡ x   d x

Mamão com açúcar, agora é só integrar dos dois lados

Passo 2

Agora, aplicamos a integral dos dois lados:

∫ 1 y + 1   d y = ∫ x sin ⁡ x d x

A integral da esquerda é: ∫ 1 y + 1   d y = ln ⁡ y + 1 + C 1

A integral da direita a gente vai ter que tirar usando integração por partes:

∫ x sin ⁡ x d x

Seja:

u = x → d u = d x

sin ⁡ x d x = d v →   - cos ⁡ x = v Então:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

E logo:

∫ x sin ⁡ x d x =   - x cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x d x

∫ x sin ⁡ x d x =   - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + C 2

Passo 3

Substituindo na equação:

∫ y + 1   d y = ∫ x sin ⁡ x d x

ln ⁡ y + 1 + C 1 = - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + C 2

Considerando C = C 2 - C 1 :

ln ⁡ y + 1 = - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + C

Passo 4

Vamos descobrir um valor de C que garante solução para o problema. Usando a segunda informação:

y π 2 = 0

Sendo assim, temos:

ln ⁡ 0 + 1 = - π 2 cos ⁡ π 2 + sin ⁡ π 2 + C

ln ⁡ 1 = - π 2 ∙ 0 + 1 + C

0 = C + 1

C = - 1

Passo 5

Agora que sabemos o valor de C , a gente substitui e fica com:

ln ⁡ y + 1 = - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1

Isolando o y , ficamos com:

y + 1 = exp ⁡ - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1

E como, pela definição de módulo:

y + 1 = y + 1 ,     s e   y + 1 ≥ 0 - y - 1 ,     s e   y + 1 < 0

y + 1 = y + 1 ,     s e   y ≥ - 1 - y - 1 ,     s e   y < - 1

Então:

y + 1 = exp ⁡ - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1 ,     s e   y ≥ - 1 - y - 1 = exp ⁡ - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1 ,     s e   y < - 1

y = exp ⁡ - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1 - 1 ,     s e   y ≥ - 1 y = - exp ⁡ - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1 - 1 ,     s e   y < - 1

Por fim:

y = exp ⁡ - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1 - 1 ,     s e   y ≥ - 1 - exp ⁡ - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1 - 1 ,     s e   y < - 1

Passo 6

Nesse passo vamos só perceber umas coisas extras. E se a condição fosse:

y π 2 = - 2

Se fosse essa, encontraríamos o mesmo valor de C = - 1 :

ln ⁡ - 2 + 1 = - π 2 cos ⁡ π 2 + sin ⁡ π 2 + C

ln ⁡ - 1 = - π 2 ∙ 0 + 1 + C

0 = C + 1

C = - 1

Ou seja, existem de fato duas funções distintas, com o mesmo valor de C , que satisfazem:

y ' = x sin ⁡ x y + 1

No entanto, como nosso valor inicial dado é:

y π 2 = 0 > - 1

Não faria muito sentidoa expressão

- exp ⁡ - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1 - 1 ,     s e   y < - 1

Ser uma resposta válida, não é? Pois nesse caso, y π 2 = - 2 < - 1 .

Sendo assim, ficamos com:

y x = e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1 - 1

Resposta

y x = e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x - 1 - 1

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