Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.

(a) Toda função é integrável.

(b) Toda função limitada é integrável.

(c) Se f é contínua em [a; b], então f é integrável em [a; b].

(d) Se f é contínua por partes em [a; b], então f é integrável em [a; b].

(e) Como o resultado de uma integral é uma área, então o resultado de uma integral sempre é maior ou igual a 0.

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema pediu para justificarmos cada uma das sentenças, então vamos lá!

Letra (a): Toda função é integrável

Uma função é integrável quando, dentro de um intervalo fechado [ a , b ] ela for contínua! Ou seja, se tivermos uma função que tem uma descontinuidade em x = 0 , por exemplo

f x = 1 x

E quisermos integrar ela de - 1 até 1, essa integral não vai existir, pois nesse intervalo essa função não é integrável!

[ 2,3 ] ? Aí sim! Aí essa função é integrável sim!

Passo 2

letra (b): Toda função limitada é integrável

Recai na mesma situação da anterior: a função pode ser limitada, mas ela é contínua nesse intervalo? Se ela for, ok, podemos integrar, se não, nada feito!

Essa aqui também é falsa!

Passo 3

Letra (c): Se f é contínua em [a; b], então f é integrável em [a; b]

Isso! Exatamente isso! Essa afirmativa está correta!

Passo 4

Letra (d): Se f é contínua por partes em [a; b], então f é integrável em [a; b].

A função é contínua por partes, ok. Então em tese ela seria integrável! Mas precisamos nos certificar que os limites laterais existem nos pontos de descontinuidade (bolinha fechada). Se existirem, ela será integrável, se não, nada feito

Essa também é falsa!

Passo 5

Por fim, letra (e): Como o resultado de uma integral é uma área, então o resultado de uma integral sempre é maior ou igual a 0

Negativo! Funções que são negativas em um determinado intervalo geram áreas negativas também! É a área embaixo da curva (que pode significar muitas coisas, trabalho de uma força, deslocamento de um corpo, quantidade de movimento...) que é negativa e não uma área no sentido geométrico

Então essa aqui também é falsa.

Sendo assim a única alternativa correta é a letra (c).

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( c )

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