Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Q02) Considere o seguinte PVI (Problema de Valor Inicial):

y ' = e y ln ⁡ x y e = 0

  1. Mostre que a função y x = ln ⁡ x e não é solução do PVI. Neste item não é necessário resolver o PVI
  2. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da solução do PVI em x = e
  3. Resolva o PVI

Passo 1

Opa, vamos lá. Começando pela letra a . Como é só pra provar que essa função não é solução, basta a gente derivar e comparar com o enunciado. Show, vamos ter então:

y ' x = ln ⁡ x e '

y ' x = 1 x e ∙ x e '

y ' x = e x ∙ 1 e = 1 x

Usando o y x sugerido no enunciado, a derivada segundo o enunciado seria:

y ' = e ln ⁡ x e ln ⁡ x = x   ln ⁡ x e

E olha, até ontem, pelo menos, essas funções eram bem diferentes:

x   ln ⁡ x e ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 1 x

Então ta provado que y x = ln ⁡ x e não é solução!

Passo 2

Agora pra letra b , saca só: queremos o coeficiente angular da reta tangente. Oras, e isso não é nada mais do que o valor da primeira derivada no ponto de tangência? O coeficiente vai ser:

a = y ' x 0

Temos tudo pra resolver isso! Sem mistério nenhum! A expressão de y ' x sabemos e o ponto de tangência ta no enunciado, e é x 0 = e . Bora calcular então:

a = e y e ln ⁡ e

a = e 0 ∙ 1

a = 1

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro essa questão e partir pro abraço, basta a gente lembrar da seguinte notação:

y ' = d y d x

Quer saber porque isso ajuda a gente? Olha então a sagacidade dessa manipulação:

y ' = e y ln ⁡ x

d y d x = e y ln ⁡ x

d y e y = ln ⁡ x   d x

e - y d y = ln ⁡ x   d x

Opa, agora é só integrar? Acertou! Integrando primeiro do lado esquerdo, a integral é bem direta ao ponto. Vamos ter:

e - y d y = ln ⁡ x   d x

∫ e - y d y = ∫ ln ⁡ x   d x

- e - y + A = ∫ ln ⁡ x   d x

Claro, não podemos esquecer a constante de integração! Por isso que aquele A está ali. Agora, pra integral à direita, vou pedir um pouco de criatividade. Veja bem, podemos reescrever isso da seguite forma:

- e - y + A = ∫ ln ⁡ x   d x = ∫ 1 ∙ ln ⁡ x   d x = ∫ x 0 ∙ ln ⁡ x   d x

Opa, surgiu então um produto de funções diferentes dentro da integral. Não sei vocês mas isso me cheira a integração por partes. Como a parte do logarítimo tem preferência, ele que vou chamar de u , beleza? Saca só como fica:

u = ln ⁡ x

d v = x 0   d x

Derivando a primeira linha e integrando a segunda, temos:

d u = 1 x   d x

v = x 1 = x

Como a regra da integração por partes é:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

A integral fica:

∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x - ∫ x ∙ 1 x   d x

∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x - ∫ 1   d x

∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x - x + B

Constante de Integração de novo? É isso mesmo! Não podemos esquecer. Juntando esses dois resultados, temos:

- e - y + A = x ln ⁡ x - x + B

Se juntarmos as duas constantes de integração e chamarmos de C , tal que C = A - B , acabamos simplificando a nossa vida porque ficamos com uma constante só. Sendo assim:

- e - y = x ln ⁡ x - x - C

Multiplicando os dois lados por - 1 , temos:

e - y = x - x ln ⁡ x + C

Aplicando logarítimo dos dois lados, temos:

ln ⁡ e - y = ln ⁡ x - x ln ⁡ x + C

- y ∙ ln ⁡ e = ln ⁡ x - x ln ⁡ x + C

- y = ln ⁡ x - x ln ⁡ x + C

E por fim, chegamos a solução do PVI, que vai ser:

y x = - ln ⁡ x - x ln ⁡ x + C

Resposta

  1. Se y x = ln ⁡ x e , então y ' x = 1 x . Como, pelo enunciado, y ' = e y ln ⁡ x , teríamos y ' = x   ln ⁡ x e ≠ 1 x
  2. a = 1
  3. y x = - ln ⁡ x - x ln ⁡ x + C

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